Aus dem Lehrsatz des Pythagoras folgt, dass in einem Quadrat der Seitenlänge 1 die Diagonale die Länge √2 hat. Die unendlich vielen Nachkommastellen dieser Zahl wiederholen sich nicht periodisch. Es existieren also keine ganzen Zahlen a und b mit a/b = √2. Den Beweis hierzu führten die Griechen bereits vor rund 2.500 Jahren - und er lässt sich problemlos verallgemeinern:

Wurzel(2)

Anfrage: uwe, aptix.com

Der Beweis, dass die Quadratwurzel aus 2 irrational ist, wird bekanntlich durch einen Widerspruch herbeigeführt. Meine Frage lautet nun: Lässt sich dieser Beweis auch auf andere Zahlen übertragen? Wenn ja, wo genau scheitert dann bei Wurzel(4) die allgemeine Beweisführung?

Antwort:

Den Beweis kann man fast buchstäblich auf jede Primzahl p übertragen: Angenommen, √p ist eine rationale Zahl, dann gibt es natürliche Zahlen a und b mit ggT(a,b) = 1 und a/b = √p ⇒ p · b² = a² ⇒ p teilt a². Weil p eine Primzahl ist, folgt damit: p teilt a ⇒ a = k · p ⇒ a² = k²p² ⇒ pb² = k²p² ⇒ b² = k²p ⇒ p teilt b² ⇒ p teilt b ⇒ p teilt a und b ⇒ ggT(a,b) > 1 - Widerspruch!

Dagegen folgt aus „4 teilt a²” im Allgemeinen nicht „4 teilt a”, weil 4 eben keine Primzahl ist. Daraus resultiert letztendlich nur die evidente Aussage: a/b = 2.

Bemerkung:

Für alle natürlichen Zahlen m und n lässt sich übrigens nachweisen, dass die reelle Zahl m hoch 1/n entweder ganzzahlig oder irrational ist. Im rationalen Fall existieren nämlich natürliche Zahlen a und b mit ggT(a,b) = 1 und (a/b)ⁿ = m, daraus folgt: aⁿ = b · b^n-1 · m. Somit teilt b die Zahl aⁿ, also ist ggT(aⁿ,b) = b. Aus ggT(a,b) = 1 folgt: ggT(aⁿ,b) = 1 und damit gilt: b = 1.

Insbesondere ist daher die Quadratwurzel aus jeder natürlichen Zahl m irrational, falls m keine Quadratzahl ist.

Mathematik-Online

Wurzel(2)