Die Schnittkurve eines Kreiskegels mit einer Ebene, die nicht die Grundfläche des Kegels schneidet, ist eine Ellipse. Man kann die Ellipse auch als Menge aller Punkte der Ebene auffassen, deren jeweilige Abstandssumme zu den zwei Brennpunkten stets die gleiche Zahl ergibt (Fadenkonstruktion). Die Brennpunkte liegen auf der längsten Sehne, der großen Achse 2a (siehe Skizze weiter unten). Die hierzu orthogonale Sehne 2b heißt „kleine Achse”. Beide Sehnen sind die Symmetrieachsen der Ellipse.

Bemerkungen

Wir leiten jetzt die genaue Umfangsformel für die Ellipse ausführlich her:

Die Gleichung x²/a² + y²/b² = 1 beschreibt die Ellipse mit den Halbachsen a und b. Wir ersetzen nun diese Gleichung durch die Parameterdarstellung [a·cost, b·sint] mit 0 ≤ t ≤ 2. Der Umfang U der Ellipse, also die volle Bogenlänge, entspricht somit dem Integral

Die numerische Exzentrizität √a²-b² /a bezeichnen wir mit ε, dann gilt:

      

Allein mit dieser Formel können wir aber noch lange nicht den Umfang der Ellipse berechnen, weil zu dem Integranden f(t):= √1 - ε² · cos²t   keine elementare Stammfunktion existiert. Daher entwickeln wir f mit Hilfe des Taylorschen Satzes in eine Funktionenreihe ∑f_i(t) =



Wegen der evidenten Voraussetzung: ε < 1 konvergiert diese unendliche Reihe für alle t ∈ [0; 2] gleichmäßig(!) gegen f(t). Hieraus folgt, dass die Reihe der Einzelintegrale ∑∫f_i(t) dt gegen ∫f(t) dt in den Grenzen [0; 2] konvergiert. Wir müssen also „nur noch” die Integrale der einzelnen Reihenglieder berechnen.