Bemerkungen
Wir leiten jetzt die genaue Umfangsformel für die Ellipse ausführlich her:
Die Gleichung x²/a² + y²/b² = 1 beschreibt die Ellipse mit den Halbachsen a und b.
Wir ersetzen nun diese Gleichung durch die Parameterdarstellung
[a·cost, b·sint] mit
0 ≤ t ≤ 2.
Der Umfang U der Ellipse, also die volle
Bogenlänge,
entspricht somit dem Integral
Die numerische Exzentrizität
√a²-b² /a
bezeichnen wir mit ε, dann gilt:
Allein mit dieser Formel können wir aber noch lange nicht den Umfang der Ellipse berechnen, weil zu dem Integranden
f(t):= √1 - ε² · cos²t
keine elementare Stammfunktion existiert. Daher entwickeln wir
f mit Hilfe des Taylorschen Satzes
in eine Funktionenreihe
∑fi(t) =
Wegen der evidenten Voraussetzung: ε < 1 konvergiert diese unendliche Reihe für alle t ∈
[0; 2]
gleichmäßig(!) gegen
f(t).
Hieraus folgt, dass die Reihe der Einzelintegrale
∑∫fi(t) dt gegen
∫f(t) dt
in den Grenzen
[0; 2]
konvergiert.
Wir müssen also „nur noch” die Integrale der einzelnen Reihenglieder berechnen.