Die Länge einer Kurve misst man im Prinzip mit Hilfe winziger Streichhölzer:


Je kleiner die Intervallbreite Δx gewählt wird, umso besser passen sich die Hölzchen der Kurve an. Wir zeigen gleich (der Anschaulichkeit halber ohne mathematische Strenge), wie der Grenzübergang Δx → 0 die Bogenlänge liefert. Zuvor vermessen wir noch die Sinuskurve:

Bemerkung:

Wir wenden jetzt die „Streichholz-Methode” auf eine geeignete Funktion f an - der Graph von f sollte hinreichend glatt, f also differenzierbar sein. Zuerst berechnen wir für jedes Hölzchen seine Länge L mittels Pythagoras:

L  =   √ [ f(x + Δx) - f(x) ]² + (Δx)²  =   √ [( f(x + Δx) - f(x) ) / Δx ]² + 1 · Δx.

Die Summe ∑√[(f(x + Δx) - f(x)) / Δx ]² + 1 · Δx  liefert nun die Gesamtlänge aller Streichhölzer; für Δx → 0 schrumpfen die Hölzchen so zusammen, dass sie stufenlos auf der Kurve liegen. Den Grenzübergang Δx → 0 stellen wir durch dx dar, und aus dem Differenzenquotienten [f(x + Δx) - f(x)] / Δx wird der Differentialquotient f '(x). Wir glätten schließlich das Summenzeichen ∑ zum Integralzeichen ∫ und erhalten über dem Intervall [a,b] die Bogenlänge
Um dieses Integral berechnen zu können, muss natürlich f ' existieren und integrierbar (fast überall stetig) sein. Auch wenn diese Voraussetzungen erfüllt sind, kommt es häufig vor, dass keine elementare Stammfunktion existiert - die Bogenlänge kann man dann etwa mit Reihenentwicklung und gliedweiser Integration bestimmen.