Mit dem Begriff „Additionstheoreme” sind insbesondere die zwei Formeln sin(x+y) = sinx · cosy + cosx · siny und cos(x+y) = cosx · cosy - sinx · siny gemeint. Beide Gleichungen tauchen in Mathematik, Naturwissenschaft und Technik immer wieder auf und resultieren unmittelbar aus der Eulerschen Formel. Bevor wir das erläutern, betrachten wir eine Aufgabe, bei der man die Additionstheoreme wiederholt anwenden muss:

Wir wollen unsere obige Lösung jetzt ausführlich darlegen:
Die Additionstheoreme für sin(x+y) und cos(x+y) liefern entsprechende Formeln für sin(x-y) und cos(x-y). Daraus folgt dann das Additionstheorem: tan(x-y) = (tanx - tany) / (1 + tanx · tany), und das liefert für tan(60°-20°) die Gleichung: sin20° = √3/28. Nun schreiben wir sin3x als sin(2x+x), um daraus die Formel: sin3x = 3sinx - 4sin³x abzuleiten und setzen x = 20° ein. Weil sin60° = ½·√3 ist, folgt somit: sin20° ist Nullstelle von f(x) = 8x³ - 6x + √3 . Wegen der Schlussfolgerung: sin20° = √3/28 müsste daher ebenso gelten: f(√3/28) = 0. Mit evidenten Umformungen erhalten wir daraus die Aussage: 36/7 = √28. Das kann aber nicht sein, weil √28 eine irrationale Zahl ist. (√n ist genau dann rational, wenn n eine Quadratzahl ist.) Statt mit der Irrationalität von √28 zu argumentieren, kann man auch beide Seiten der Gleichung quadrieren und es folgt: 36² = 7²·28. Diese Aussage ist offenkundig falsch, weil 7 kein Teiler von 36 ist.

Die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus werden wir gleich in genau einer Zeile aus der Eulerschen Formel ableiten. Zuvor zeigen wir aber für sin(x+y), wie die elementargeometrische Herleitung funktioniert:
Der Strecke OS ordnen wir die Länge 1 zu, und die Dreiecke OPS, OAS, OBA, CAS seien rechtwinklig. Somit gilt: x+y+z = /2 = x'+y+z ⇒ x' = x. Ferner erhalten wir aus den obigen Voraussetzungen: sin(x+y) = SP = SC + CP. Das Dreieck CAS liefert uns die Gleichung: SC = SA · cosx, und aus dem Dreieck OAS ergibt sich: SA = siny, OA = cosy. Am Dreieck OBA liest man ab: CP = AB = OA · sinx = cosy · sinx. Daraus folgt schließlich für alle Winkel x, y ≤ /2: sin(x+y) = SP = SC + CP = siny · cosx + cosy · sinx.

Dagegen lassen sich die Additionstheoreme mit Hilfe der Eulerschen Formel e^ix = cosx + i · sinx sowie der Gleichung e^i(x+y) = e^ix · e^iy für alle reellen Zahlen x, y (sogar für beliebige komplexe Zahlen) völlig mühelos herleiten: cos(x+y) + i · sin(x+y) = e^i(x+y) = (cosx + i · sinx) · (cosy + i · siny). Dieses Produkt muss man nur noch in Real- und Imaginärteil zerlegen.