Elfmeter-Duell
Frage
Mario und Marco trainieren Elfmeterschießen, wobei Mario zuerst antreten darf, weil er durchschnittlich nur einen von drei Elfmetern versenkt, während
Marco doppelt so häufig trifft. Es wird solange geschossen, bis einer von beiden trifft. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Mario gewinnt?
Antwort
Die Gewinn-Wahrscheinlichkeit von Mario bezeichnen wir mit p,
dann gilt:
p = 1/3 + 2/3·1/3·p, also ist p = 3/7.
Anmerkung
Die Gleichung für p ergibt sich wie folgt: Mario trifft entweder mit der W-keit 1/3 beim ersten Schuss oder er trifft nicht (W-keit 2/3), womit Marco an der Reihe ist und
ebenfalls nicht trifft (W-keit 1/3). Nun haben wir wieder die
Situation, dass Mario zuerst schießt und mit der W-keit p gewinnt.
Wenn dagegen zwei Spieler A, B mit derselben W-keit q > 0 erfolgreich sind (etwa q = 1/2 beim Münzwurf), dann gewinnt der beginnende
Spieler A mit der W-keit p = q + (1-q)²p, folglich ist
p = 1/(2-q). Spieler B gewinnt mit der W-keit 1-p
und es gilt:
1-p = (1-q)p, weil Spieler A mit der W-keit
1-q einen Fehlversuch hat und B dann die Rolle von A übernimmt.
Eine maximale Anzahl an Wiederholungen ist hierbei nicht festgelegt.
Das Ereignis "keiner gewinnt" hat somit die W-keit ε=0, sonst wäre nämlich ε >0 und
ε ≤ (1-q)n für alle n. Wegen 0 ≤
(1-q) < 1 existiert aber zu ε > 0 eine natürliche Zahl
m(ε), so dass für alle
n ≥ m(ε) gilt: (1-q)n < ε.