Mathematik-Online

Zur Entspannung folgen nun einige Knobel- und Denksportaufgaben:

Elfmeter-Duell

Anfrage: Julian Maier, gmx

Mario und Marco trainieren Elfmeterschießen, wobei Mario zuerst antreten darf, weil er durchschnittlich nur einen von drei Elfmetern versenkt, während Marco doppelt so häufig trifft. Es wird solange geschossen, bis einer von beiden trifft. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Mario gewinnt?

Antwort:

Die Gewinn-Wahrscheinlichkeit von Mario bezeichnen wir mit p. Dann gilt: p = 1/3 + 2/3·1/3·p, also ist p = 3/7.

Anmerkung: Die Gleichung für p ergibt sich wie folgt: Entweder trifft Mario mit der Wahrscheinlichkeit 1/3 beim ersten Schuss, oder er trifft nicht (Wahrscheinlichkeit = 2/3). Falls dann Marco ebenfalls kein Tor macht (Wahrscheinlichkeit = 1/3), haben wir wieder die Ausgangssituation, dass Mario zuerst schießt und mit der Wahrscheinlichkeit p gewinnt.

Mathematik-Online, Denksport

Durst

Anfrage: Jörg Hartung, web

Beim Marsch durch die Wüste trinkt Mario am ersten Tag einen Liter, Kevin trinkt zwei, Jan drei und Toni vier Liter Wasser. Am nächsten Tag trinkt nur einer so viel wie am Vortag, die anderen trinken die doppelte, dreifache bzw. vierfache Menge vom ersten Tag, so dass abends der komplette Wasservorrat von 32 Litern aufgebraucht ist. Wie viel trinkt jeder?
Kann man die Lösung auch ohne endloses Probieren finden?

Antwort:

Langes Probieren ist hier nicht erforderlich:

a	+	b	+	c	+	d	=	10
a	+	2b	+	3c	+	4d	=	22

Zweimal die erste Gleichung minus der zweiten Gleichung liefert: a-c = 2(d-1). Wegen a ≠ c und a-c < 4 ist d = 2. Daraus folgt: a = 3 und c = 1 (a = 4 ergäbe den Widerspruch c = d). Somit ist b = 4 und wir erhalten die eindeutige Lösung: Mario trinkt 4 Liter, Kevin 10 Liter, Jan 6 Liter und Toni 12 Liter.

Mathematik-Online, Denksport

Glückslos

Anfrage: Armin Stauffenberger, chello.at

In einer Spielshow soll ein Kandidat erraten, welcher der beiden Quizmaster das Glückslos mit einer Millionen Euro in der Tasche hat. Der Kandidat darf zuvor einem der Quizmaster eine Frage stellen, auf die nur mit JA oder NEIN geantwortet wird. Einer der Quizmaster ist ein Lügner, der Kandidat weiß aber nicht, wer von beiden das ist. Welche Frage sollte der Kandidat stellen ?

Antwort:

Die geeignete Frage lautet etwa: Hat der Lügner das Los? Der Befragte hat genau dann das Los, wenn er NEIN sagt.

Mathematik-Online, Denksport

Bienenflug

Anfrage: B. Haensgen, t-online

Ein Radfahrer fährt von T zum 20 km entfernten F. Gleichzeitig fliegt eine Biene mit der doppelten Geschwindigkeit des Radlers von F nach T. Wenn sie auf den Radfahrer trifft, kehrt sie um und fliegt wieder nach F zurück. Dort angekommen, kehrt sie um und trifft irgendwann erneut auf den Radfahrer. Dann kehrt sie sofort wieder nach F zurück usw. Wie viele Kilometer fliegt die Biene, bis der Radfahrer nach einer Stunde in F ankommt?

Antwort:

Die Biene ist doppelt so schnell wie der Radfahrer - sie fliegt also 40 km, wenn der Radfahrer 20 km zurücklegt.

Mathematik-Online, Denksport

Potenzrechnung

Anfrage: Tilo Hagedorn, web

Wie lautet die letzte Ziffer vor dem Komma und die ersten tausend Ziffern nach dem Komma von (√6 + √5)²⁰⁰⁸ ?

Antwort:

Wir betrachten zuerst z:= (√6 + √5)²⁰⁰⁸ + (√6 - √5)²⁰⁰⁸. Aus dem binomischen Lehrsatz folgt: z = 2·6¹⁰⁰⁴ + 10m mit m ∈ IN. Daher ist z eine ganze Zahl, und weil 6ⁿ stets auf 6 endet, sind die Endziffern von z und 2·6 = 12 identisch.

Wegen (√6 + √5)²⁰⁰⁸ · (√6 - √5)²⁰⁰⁸ = 1 gilt: (√6 - √5)²⁰⁰⁸ = 1/(√6 + √5)²⁰⁰⁸ < 1/(2+2)²⁰⁰⁸ = 1/2⁴⁰¹⁶ < 1/(2¹⁰)⁴⁰⁰ < 1/(10³)⁴⁰⁰. Somit ist (√6 - √5)²⁰⁰⁸ kleiner als 1/10¹²⁰⁰.

Daher hat z - (√6 - √5)²⁰⁰⁸ = (√6 + √5)²⁰⁰⁸ eine Eins direkt vor dem Komma und darauf folgen mehr als tausend Neunen hintereinander.

Mathematik-Online, Knobelei

Schokoladenpreise

Anfrage: Eva Giovanna, linomail

Vier Tafeln Schokolade kosten zusammen 7,77 Euro. Multipliziert man die vier Einzelpreise, so ergibt das ebenfalls 7,77 Euro. Wie teuer ist jede Schokolade?

Antwort:

Das Gleichungssystem: a/100·b/100·c/100·d/100 = 777/100 und a+b+c+d = 777 hat die ganzzahligen Lösungen a=350, b=222, c=125, d=80.

Mathematik-Online, Denksport

Einkauf

Anfrage: MH, autohaus-gast

Jemand gibt beim Einkauf die Hälfte seines Geldes aus und hat dann die gleiche Anzahl Cent wie vorher Euro und halb so viele Euro wie vorher Cent. Welchen Betrag hatte er vor dem Einkauf?

Antwort:

Die entsprechende Gleichung: ½·(100n + m) = n + 50m liefert für ganzzahlige n, m den Anfangsbetrag von 99,98 €.

Mathematik-Online, Denksport

Wasser umfüllen

Anfrage: „totti25872”, yahoo

Aus einem Gefäß mit einer quadratischen Grundfläche von 600 cm² soll so viel Wasser in ein Gefäß mit 400 cm² quadratischer Grundfläche gegossen werden, dass der Wasserspiegel in beiden Gefäßen gleich hoch ist. Momentan steht der Wasserspiegel im Gefäß mit der größeren Grundfläche 5 cm höher. Durch Probieren gelangt man schnell zu dem Ergebnis, dass der Wasserspiegel um 2 cm verringert werden muss. Wie kann ich das jedoch in einer Gleichung zum Ausdruck bringen?

Antwort:

Das Umfüllen der Wassermenge V verändert die Pegelstände der beiden Quader um die Beträge h und H, wobei gefordert ist: 5-h = H. Wegen h = V/600 und H = V/400 erhalten wir daraus die Gleichung: 5 - V/600 = V/400. Somit ist V = 1200 und h = 1200/600 = 2.

Mathematik-Online, Denksport

Prozentrechnung

Anfrage: Julia Pahl, gmx

Zu Beginn eines Eiertransports sind 99% der Eier weiß, die restlichen sind braun. Während der Fahrt gehen nur weiße Eier zu Bruch, so dass ihr Anteil auf 98% sinkt. Wie viele der Eier (Prozent) sind zerbrochen?

Antwort:

Die Anzahl der braunen Eier bleibt gleich, und ihr Anteil an der Gesamtmenge verdoppelt sich. Die Gesamtmenge hat sich daher halbiert - es sind also 50% zerbrochen.

Ausführlich formuliert: x Eier gibt es vor der Fahrt, y Eier hinterher, die Anzahl n der braunen Eier ist konstant. Somit erhalten wir die Gleichungen: n = x·1/100 und n = y·2/100. Also gilt: x/100 = 2y/100, daraus folgt: y = x/2.

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Ternärsystem

Anfrage: F. Koenigsberger, hs-plain.Salzburg

Ist es möglich, mit zehn Zahlen alle natürlichen Zahlen von 1 bis 29.524 nur durch Addition und Subtraktion zu erzeugen? Jede dieser zehn Zahlen darf dabei höchstens einmal vorkommen!

Antwort:

Die zehn Zahlen sind 3⁰, 3¹ ... 3⁹. Bei wiederholter Division durch 3 kann man nämlich alle natürlichen Zahlen m ≤ 29.524 in der ternären Form a₉·3⁹ + a₈·3⁸ + ... + a₀·3⁰ schreiben, wobei die a_i jeweils die Reste der Division durch 3 sind, also für die Zahlen 0, 1 oder 2 stehen.

Jetzt stören noch die Zweien. Es gilt aber: 2·3^k = (3-1)·3^k = 1·3^k+1 - 1·3^k. Wir ersetzen also 2·3^k durch (1+a_k+1)·3^k+1 - 1·3^k und erhalten damit keine größere Potenz als 3⁹, weil für alle natürlichen Zahlen m ≤ 29.524 in der ternären Darstellung zu jedem a_i = 2 stets ein a_j = 0 existiert mit i < j ≤ 9.

Zum Beispiel bestimmen wir für die Dezimalzahl 25.105 zuerst die ternäre Darstellung 1.021.102.211 und ersetzen nun die letzte 2 (= a₂) durch -1, dann a₃ = 2 durch 0 und a₄ = 0 durch die 1. So fortfahrend erhalten wir 1.1-11.110.-111. Daher gilt: 25.105 = 3⁹ + 3⁸ - 3⁷ + 3⁶ + 3⁵ + 3⁴ - 3² + 3¹ + 3⁰.