Mathematik-Online, Denksport

Münzwurf

Frage

Für den Spieleinsatz von 27 Euro wirft ein Spieler eine faire Münze, bis erstmals Kopf fällt. Passiert das beim ersten Wurf, erhält er 1 Euro, beim 2. Wurf 8 Euro, beim 3. Wurf 27 Euro ... Beim n-ten Wurf zahlt die Spielbank also n³ Euro an den Spieler aus. Wie berechnet man hier den Mittelwert?

Antwort

Mit der Wahrscheinlichkeit 1/2ⁿ fällt im n-ten Wurf zum ersten Mal Kopf. Der Mittelwert E (Erwartungswert) beträgt damit:
E = 1·1/2 + 2³·1/2² + 3³·1/2³ + ... + n³·1/2ⁿ + ...

Es gilt: E/2 = E - E/2 = 1/2 + 3A/2 + 3B/2 + C/2 mit
A = 1/2¹ + 2²/2² + 3²/2³ + ... ,
B = 1/2¹ + 2/2² + 3/2³ + ... ,
C = 1/2¹ + 1/2² + 1/2³ + ... .

Offensichtlich gilt C - C/2 = 1/2, d.h. C = 1 und B - B/2 = C, d.h. B = 2. Auch A - A/2 und A/2 - 1/2·A/2 kann man problemlos berechnen. Das ergibt A = 6 und insgesamt E = 26. Im Durchschnitt werden also 26 Euro ausgezahlt.

Anmerkung
Mit E/2 = E - E/2 entfallen alle Zahlen n³, denn (n+1)³ - n³ = 3n² + 3n + 1. Analog verschwinden alle n² in A - A/2. Schließlich liefert A/2 - 1/2·A/2 wegen 2n+1 - (2n-1) = 2 eine geometrische Reihe.

Die Wahrscheinlichkeit, bei diesem Spiel Millionär zu werden, ist kleiner als 1/10³⁰. Da ist die Chance größer, mit der Tippreihe 1, 2, 3, 4, 5, 6 viermal hintereinander 6 Richtige im Lotto zu haben.

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Domino-Puzzle

Frage

Ein Dominostein überdeckt genau zwei quadratische Felder von einem Schachbrett. Mit 32 Steinen lassen sich 64 Felder also exakt abdecken. Jetzt wird links oben und rechts unten jeweils ein weißes Feld entfernt. Kann man die verbleibenden 62 Felder mit 31 (ganzen) Steinen lückenlos überdecken? Die Steine dürfen beliebig ausgerichtet werden.

Antwort

Damit keine Lücken bleiben, müsste jeder Stein genau auf einem grauen und einem weißen Feld liegen. Das ist aber nicht möglich, weil mehr graue als weiße Felder existieren. Es gibt somit keine lückenlose Überdeckung.

Anmerkung
Weil die 31 Steine zusammen den gleichen Flächeninhalt wie die 62 Felder haben, darf kein Stein über den Brettrand hinausragen. Damit nun etwa in der Ecke unten links keine Lücke bleibt, muss ein Stein exakt auf dieser Ecke liegen. Angefangen bei den benachbarten Steinen müsste also auch jeder weitere Stein genau auf einem grauen und einem weißen Feld liegen.

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Elfmeter-Duell

Frage

Mario und Marco trainieren Elfmeterschießen, wobei Mario zuerst antreten darf, weil er durchschnittlich nur einen von drei Elfmetern versenkt, während Marco doppelt so häufig trifft. Es wird solange geschossen, bis einer von beiden trifft. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Mario gewinnt?

Antwort

Die Gewinn-Wahrscheinlichkeit von Mario bezeichnen wir mit p, dann gilt: p = 1/3 + 2/3·1/3·p, also ist p = 3/7.

Anmerkung
Die Gleichung für p ergibt sich wie folgt: Mario trifft entweder mit der W-keit 1/3 beim ersten Schuss oder er trifft nicht (W-keit 2/3), womit Marco an der Reihe ist und ebenfalls nicht trifft (W-keit 1/3). Nun haben wir wieder die Situation, dass Mario zuerst schießt und mit der W-keit p gewinnt.

Wenn dagegen zwei Spieler A, B mit derselben W-keit q > 0 erfolgreich sind (etwa q = 1/2 beim Münzwurf), dann gewinnt der beginnende Spieler A mit der W-keit p = q + (1-q)²p, folglich ist p = 1/(2-q). Spieler B gewinnt mit der W-keit 1-p und es gilt: 1-p = (1-q)p, weil Spieler A mit der W-keit 1-q einen Fehlversuch hat und B dann die Rolle von A übernimmt.

Eine maximale Anzahl an Wiederholungen ist hierbei nicht festgelegt. Das Ereignis "keiner gewinnt" hat somit die W-keit ε=0, sonst wäre nämlich ε >0 und ε ≤ (1-q)ⁿ für alle n. Wegen 0 ≤ (1-q) < 1 existiert aber zu ε > 0 eine natürliche Zahl m(ε), so dass für alle n ≥ m(ε) gilt: (1-q)ⁿ < ε.

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Glückslos

Frage

In einer Spielshow soll ein Kandidat erraten, welcher der beiden Quizmaster das Glückslos mit einer Millionen Euro in der Tasche hat. Der Kandidat darf zuvor einem der Quizmaster eine Frage stellen, auf die nur mit JA oder NEIN geantwortet wird. Einer der Quizmaster ist ein Lügner, der jede Frage des Kandidaten falsch beantwortet. Der Kandidat weiß aber nicht, wer von beiden das ist. Welche Frage sollte der Kandidat stellen ?

Antwort

Die geeignete Frage lautet etwa: Hat der Lügner das Los? Der Befragte hat genau dann das Los, wenn er NEIN sagt.

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Wasser umfüllen

Frage

Aus einem Gefäß mit einer quadratischen Grundfläche von 600 cm² soll so viel Wasser in ein Gefäß mit 400 cm² quadratischer Grundfläche gegossen werden, dass der Wasserspiegel in beiden Gefäßen gleich hoch ist. Momentan steht der Wasserspiegel im Gefäß mit der größeren Grundfläche 5 cm höher. Durch Probieren gelangt man schnell zu dem Ergebnis, dass der Wasserspiegel um 2 cm verringert werden muss. Wie kann ich das jedoch in einer Gleichung zum Ausdruck bringen?

Antwort

Das Umfüllen der Wassermenge V verändert die Pegelstände der beiden Quader um die Beträge h und H, wobei gefordert ist: 5-h = H. Wegen h = V/600 und H = V/400 erhalten wir daraus die Gleichung: 5 - V/600 = V/400. Somit ist V = 1200 und h = 1200/600 = 2.

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Prozentrechnung

Frage

Zu Beginn eines Eiertransports sind 99% der Eier weiß, die restlichen sind braun. Während der Fahrt gehen nur weiße Eier zu Bruch, so dass ihr Anteil auf 98% sinkt. Wie viele der Eier (Prozent) sind zerbrochen?

Antwort

Die Anzahl der braunen Eier bleibt gleich und ihr Anteil an der Gesamtmenge verdoppelt sich. Die Gesamtmenge hat sich daher halbiert - es sind also 50% zerbrochen.

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Ternärsystem

Frage

Ist es möglich, mit zehn Zahlen alle natürlichen Zahlen von 1 bis 29.524 nur durch Addition und Subtraktion zu erzeugen? Jede dieser zehn Zahlen darf dabei höchstens einmal vorkommen!

Antwort

Die zehn Zahlen sind 3⁰, 3¹ ... 3⁹. Bei wiederholter Division durch 3 kann man nämlich alle natürlichen Zahlen m ≤ 29.524 in der ternären Form a₉·3⁹ + a₈·3⁸ + ... + a₀·3⁰ schreiben, wobei die a_i jeweils die Reste der Division durch 3 sind, also für die Zahlen 0, 1 oder 2 stehen.

Jetzt stören noch die Zweien. Es gilt aber: 2·3^k = (3-1)·3^k = 1·3^k+1 - 1·3^k. Wir ersetzen also 2·3^k durch (1+a_k+1)·3^k+1 - 1·3^k und erhalten damit keine größere Potenz als 3⁹, weil für alle natürlichen Zahlen m ≤ 29.524 in der ternären Darstellung zu jedem a_i = 2 stets ein a_j = 0 existiert mit i < j ≤ 9.

Zum Beispiel bestimmen wir für die Dezimalzahl 25.105 zuerst die ternäre Darstellung 1.021.102.211 und ersetzen nun die letzte 2 (= a₂) durch -1, dann a₃ = 2 durch 0 und a₄ = 0 durch die 1. So fortfahrend erhalten wir 1.1-11.110.-111. Daher gilt: 25.105 = 3⁹ + 3⁸ - 3⁷ + 3⁶ + 3⁵ + 3⁴ - 3² + 3¹ + 3⁰.