Im Altertum kannte man bereits Methoden, um quadratische Gleichungen zu lösen, also die Nullstellen von Polynomen zweiten Grades zu berechnen. Italienische Mathematiker entdeckten im 16. Jahrhundert Verfahren zur Auflösung aller Gleichungen dritten und vierten Grades. Bis heute hat man jedoch keine solchen Formeln für Gleichungen höheren Grades gefunden - und das wird, wie wir noch zeigen werden, ewig so bleiben. Zum Beispiel ist es nicht möglich, die Gleichung x⁵ + 4x⁴ - 2 = 0 nach x aufzulösen. Bevor wir das erläutern, entschlüsseln wir eine Gleichung vierten Grades:

Obige Nullstellen konnten wir sofort finden, weil in der Gaußschen Zahlenebene die fünf Lösungen der Gleichung x⁵ = 1 den Kreis um den Nullpunkt mit Radius 1 in fünf gleichlange Bogenstücke aufteilen, angefangen bei der einzigen reellen Lösung x = 1. Die Division x⁵-1 : x-1 = x⁴+x³+x²+x+1 = f(x) liefert uns daher für das besagte Polynom f die rechts skizzierten vier nichtreellen Nullstellen, die sich mit Hilfe der Eulerschen Formel auch in die Form cos2kπ/5 + i·sin2kπ/5 mit k = 1, 2, 3, 4 darstellen lassen.

Wir können diese trigonometrische Zahlendarstellung sogar recht einfach durch Radikale ersetzen. Wegen 0 = sin2π = sin(5·2π/5) folgt nämlich per Additionstheorem: 0 = 16·sin⁵2π/5 - 20·sin³2π/5 + 5·sin2π/5. Daher ist sin2π/5 Nullstelle des Polynoms g(x) = 16x⁴-20x²+5 (das wir mittels z:=x² zerlegen). Ebenso folgt, dass auch die Zahl sin4π/5 eine Nullstelle von g ist. Wegen der offensichtlichen Relationen: sin2π/5 > sin4π/5 > 0 stimmt die kleinere der zwei positiven Nullstellen √5/8 ± Wurzel(5/64) von g mit sin4π/5 überein und die größere mit sin2π/5. Die beiden zugehörigen Realteile cos2π/5 und cos4π/5 transformieren wir anhand der Gleichung: cos²α = 1 - sin²α ebenfalls auf Radikalgestalt. Die Radikaldarstellung der zwei anderen Nullstellen des Polynoms f können wir nun durch Spiegelung an der reellen Achse bestimmen.

Die exakte Berechnung der Nullstellen eines Polynoms durch Grundrechen- und Wurzeloperationen bezeichnet man als „Auflösung einer Gleichung durch Radikale”. Die lineare Gleichung ax + b = 0 lässt sich einfach durch die Formel x = -b/a lösen, und bei quadratischen Gleichungen kann man die quadratische Ergänzung anwenden. Gleichungen vom Grad drei und vier können mit der Cardanischen Formel bzw. mit dem Verfahren von Ferrari exakt gelöst werden. Solche allgemeinen Formeln gibt es für Gleichungen höheren Grades allerdings nicht. Zu dieser Erkenntnis gelangt man durch die Galoistheorie, wo man die sogenannte Galoisgruppe einer Gleichung betrachtet. Gewisse Untergruppen dieser Gruppe entsprechen nämlich den Zwischenschritten zur Auflösung der Gleichung:

Präzise formuliert ist eine Gleichung genau dann auflösbar (ein Polynom ist durch Radikale lösbar), wenn Untergruppen der zugehörigen Galoisgruppe G existieren, die eine Normalreihe G = G_o ⊃ G₁ ⊃ ... ⊃ G_n = {id} bilden mit abelschen Faktoren G_i / G_i+1 i ∈ {0,...,n-1}. Die Lösungen einer Gleichung kann man also genau dann durch Radikale darstellen, wenn die zugehörige Galoisgruppe auflösbar ist. Die Galoisgruppe des allgemeinen Polynoms vom Grad n ist die volle symmetrische Gruppe S_n, die für alle n ≥ 5 nicht auflösbar ist. Daraus folgt der denkwürdige Satz:

Zu keinem n ≥ 5 existiert eine Formel, um die Nullstellen des allgemeinen Polynoms vom Grade n exakt (durch Radikale) zu bestimmen.

Wir können allerdings noch nicht ausschließen, dass für jedes konkrete Polynom ein individuelles Lösungsverfahren existiert. Beispielsweise erhält man sämtliche Nullstellen von x⁸-2x⁴+1 durch die Substitution z:=x⁴. Das Polynom 32x⁵+40x⁴-20x³-25x²+9x/8+45/32 ist mittels z:=2x+½ sofort zu „knacken”. Auch die Gleichung x⁵+15x-44=0 muss durch Radikale lösbar sein, das besagt die zugehörige Galoisgruppe. Wir betrachten jetzt aber die eingangs erwähnte Gleichung x⁵ + 4x⁴ - 2 = 0, die man tatsächlich nicht nach x auflösen kann.

Die gesuchten Werte kann man zwar problemlos mit großer Genauigkeit approximativ berechnen, die exakten Zahlen erhält man auf diese Weise aber ebenso wenig wie durch noch so raffinierte Substitutionen. Viele Leser werden sich fragen, warum eine so harmlos anmutende Gleichung unlösbar sein soll. Deswegen folgt jetzt der Beweis, wobei wir der Kürze halber das unvermeidliche algebraische Vokabular nicht erläutern:

Aus dem Kriterium von Eisenstein und dem Gaußschen Lemma folgt: Das Polynom f mit f(x) = x⁵+4x⁴-2 ist über dem Körper der rationalen Zahlen unzerlegbar. Eine elementare Kurvendiskussion zeigt, dass f genau drei einfache reelle Nullstellen hat, also existieren zwei konjugiert komplexe Nullstellen. Die komplexe Konjugation ist für die drei reellen Nullstellen die Identität, folglich enthält die Galoisgruppe Gal(f) ⊆ S₅ eine Transposition. Außerdem folgt aus dem Gradsatz und dem Satz von Cauchy, dass Gal(f) eine Permutation der Ordnung 5 enthält. Somit ist die Galoisgruppe von f die volle symmetrische Gruppe S₅ - q.e.d.

Nicht nur das obige Polynom, sondern die weitaus meisten Polynome vom Grad n ≥ 5 haben als Galoisgruppe die volle symmetrische Gruppe S_n und sind damit nicht auflösbar. Eine Ausnahme hiervon bilden zum Beispiel die Kreisteilungspolynome, deren Galoisgruppe isomorph zur entsprechenden abelschen Gruppe Z/nZ* ist - übrigens hat das n-te Kreisteilungspolynom die Gestalt x^n-1+x^n-2+...+1, falls n eine Primzahl ist.

Wir wollen es bei dieser Skizzierung von elementaren Anwendungen der Galoistheorie belassen. Die nächste Abstraktionsstufe besteht nebenbei bemerkt darin, nicht mehr die Wurzeln einer algebraischen Gleichung, sondern den von ihnen erzeugten Körper zu untersuchen, wobei dann die Körperautomorphismen an die Stelle der Permutationen treten.

So elegant die Galoistheorie auch ist, ihr Ursprung gleicht einer Tragödie: Wenige Stunden vor seiner tödlichen Verwundung in einem Pistolenduell schrieb Evariste Galois seine bahnbrechenden Erkenntnisse nieder. Was der Zwanzigjährige im Morgengrauen des 30. Mai 1832 in verzweifelter Eile zu Papier brachte, fasziniert den mathematisch Interessierten auch noch 177 Jahre später. Ruhm konnte Galois zu Lebzeiten aber nicht ernten. Im Bewusstsein der eigenen Fähigkeiten und voller Verachtung für beschränkte Mitmenschen glich sein kurzes Leben einem Kampf gegen Windmühlen. Seine mathematischen Manuskripte, die er bereits als Siebzehnjähriger verfasste, stießen auf Unverständnis oder verschwanden auf seltsame Weise bei den Prüfungskommissionen.

Bezeichnend ist auch der Verlauf seiner Aufnahmeprüfung an der École Polytechnique: Einer der Prüfer konnte oder wollte Galois' unkonventionellen Lösungsweg zu einer schwierigen Aufgabe nicht verstehen - daher warf ihm Evariste den Tafellappen ins Gesicht, womit sich die Polytechnique-Pläne natürlich erledigt hatten.

Erst Jahrzehnte nach seinem Tod verneigte sich die mathematische Welt vor Galois. Seither ist seine Theorie und ihre abstrakte Fortentwicklung ein fundamentaler Bestandteil der Algebra. Das Leben des brillanten Franzosen beschreibt der Autor Eric T. Bell ausführlich in seinem Werk:  Die großen Mathematiker.