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Es gibt unbegrenzt viele Möglichkeiten, Länge und Winkel von Vektoren zu definieren. Hierbei spielen bilineare Verknüpfungen eine besondere Rolle, deren Produkte reelle Zahlen (Skalare) sind:

Skalarprodukt

Anfrage:  B. Prinz, kabelmail
Ich schreibe meine Facharbeit über Skalarprodukte und bin beim Vektorraum V der stetigen reellen Funktionen auf dem Intervall [0,1] angelangt. Das Skalarprodukt auf V ist definiert durch
< f, g > = 0 1 ∫ f(x)·g(x) dx.
Wie kann ich damit Längen, Abstände und Winkel messen? Ist die Länge des Vektors f gleich der Bogenlänge von f(x) ?

Antwort:

Länge (Norm ||||),  Distanz und Winkel bestimmt man mit Hilfe eines Skalarproduktes < > stets nach folgenden Regeln: ||f|| := √< f, f >  -  z. B. hat f(x) = x in Ihrem Fall die Norm √1/3, aber die Bogenlänge von f auf dem Intervall [0, 1] beträgt √2. Die Distanz (der Abstand) zwischen f und g ist durch die Norm des Differenzvektors gegeben, also mittels ||f - g||. Ferner ist durch arccos(< f, g > / ||f||·||g||) ein „Winkel” zwischen f, g ≠ 0 definiert. f und g sind genau dann zueinander orthogonal, wenn gilt:   < f, g > = 0.

Das obige Skalarprodukt wird u. a. bei der Lösung spezieller Schwingungsprobleme eingesetzt (etwa bei der Konstruktion von Streichinstrumenten). Hierbei kommen Fourierreihen ins Spiel, die in der Analysis untersucht werden.


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Bemerkung:

Für den Einstieg reicht es, Skalarprodukte nur in reellen Vektorräumen zu betrachten. Das einfachste Beispiel liefert der zweidimensionale Raum mit dem kanonischen Skalarprodukt, das für die Vektoren

Die Vektorkomponenten sind beliebige reelle Zahlen.   durch  < v, w >:=   v1· w1 + v2· w2

definiert ist. Somit hat der Vektor v die Norm ||v|| Diese Längendefinition des Vektors v entspricht dem Satz des Pythagoras.. Dies entspricht dem anschaulichen Längenbegriff - das folgt unmittelbar aus dem elementargeometrischen Lehrsatz des Pythagoras.

Der Winkel zwischen v, w ≠ 0 ist durch γ:= arc cos < v, w > / ||v||·||w|| definiert. Diese Definition stimmt exakt mit der elementargeometrischen Winkelmessung, also mit dem Kosinussatz  cosγ = a² + b² - c² / 2ab überein. Das zeigt sich wie folgt:

Den Winkel zwischen v und w berechnet man mit dem vektoriellen Kosinussatz.

Dieser Quotient ist für unser kanonisches Skalarprodukt identisch mit dem Kosinus des elementargeometrischen Winkels, den die zwei Vektoren v, w miteinander einschließen. Hier gilt nämlich: ||v|| = a, ||w|| = b, ||v-w|| = c, wobei a, b, c die anschaulich gegebenen Seitenlängen des Dreiecks sind.


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Analog zum IR² kann man den Vektorraum IRn für alle natürlichen Zahlen n mit einem kanonischen Skalarprodukt versehen, indem man die an gleicher Stelle stehenden Vektor-Komponenten miteinander multipliziert und alle Produkte anschließend addiert. Neben diesem „kanonischen” Verfahren existieren noch unendlich viele weitere Möglichkeiten, Skalarprodukte zu konstruieren. Insbesondere für den IR² ist es jedoch kein Problem, alle Skalarprodukte in einer Zeile anzugeben. Die allgemeine Bilinearform

Ein Skalarprodukt ist eine symmetrische, positiv definite Bilinearform. := a·v1·w1 + b·v2·w1 + c·v1·w2 + d·v2·w2

mit reellen Zahlen a, b, c, d stellt nämlich genau dann ein Skalarprodukt auf dem IR² dar, wenn gilt: a, d > 0,  b = c und a·d > b². Diese Formel ergibt sich aus der Korrespondenz zwischen 2×2- Matrizen und Bilinearformen. Übrigens resultiert aus a=d=1 und b=c=0 das kanonische Skalarprodukt.

Messverfahren, die auf einem Skalarprodukt basieren, erfüllen die Gesetze für Norm und Metrik. So ist etwa die Länge eines Vektors ≠ 0 stets positiv, und das gilt ebenso für die Distanz zwischen ungleichen Punkten (Vektoren sind Verschiebungen von Punkten eines affinen Raumes). Ferner gilt auch die Dreiecksungleichung; hiermit ist die Gerade die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten - das lässt sich leicht mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung   |< v, w >| ≤ ||v||·||w||  zeigen.

Reelle Räume, die mit einem Skalarprodukt versehen sind, bezeichnet man als euklidisch. In euklidischen Räumen gilt für alle zueinander orthogonalen Vektoren v und w (also < v, w > = 0) der vektorielle Satz des Pythagoras: ||v||²+||w||² = ||v + w||².  Das folgt geradewegs aus den Rechenregeln für Skalarprodukte. Den elementargeometrischen Lehrsatz des Pythagoras kann man so allerdings nicht beweisen.
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