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    ähnliche Dreiecke unterscheiden sich geometrisch höchstens durch ihre Größe.

Zwei Dreiecke, die von gleicher Form (ähnlich) sind, haben selbstverständlich gleiche Seitenverhältnisse. Diese anschauliche Aussage kann man auch durch mehr oder minder viele Gleichungen ersetzen, die dann Strahlensätze heißen.

Bevor wir darauf näher eingehen, lassen wir den Daumen springen:

Strahlensatz

Anfrage: Ralf Koenigshoven, t-online
Im freien Gelände kann man Entfernungen ohne technische Hilfe mit dem Daumensprung messen. Ich strecke den Arm ganz nach vorne, halte den Daumen hoch und kneife erst das eine und dann das andere Auge zu. Dabei springt der Daumen vor dem anvisierten Objekt um die Strecke Z hin und her. Mein Abstand zu dem Objekt beträgt dann 10×Z.

Beispiel: Ich stehe am Strand und sehe ein 100 Meter langes Schiff an mir vorbeifahren. Wenn das Schiff zweimal zwischen den Daumensprung passt, dann ist Z = 200 Meter, womit seine Entfernung 2000 Meter beträgt. Ist das mathematisch korrekt?

Antwort:

Die Abschätzung ist einwandfrei, falls die Strecke Z zwischen den beiden anvisierten Punkten parallel zur Augenlinie ist:

gekreuzte Strahlensatzfigur
In unserer Skizze stehen die Eckpunkte A und B für die beiden Augen. Der Schnittpunkt S ist die Daumenspitze, mit der man den Punkt P bzw. Q im Visier hat. Wenn jetzt die Augenlinie AB und die Verbindungsstrecke PQ (= Z) parallel sind, dann stimmen die Seitenverhältnisse in den Dreiecken überein und daraus folgt: SA : AB = SP : PQ.

Setzt man nun voraus, dass der Abstand |SA| vom Daumen zum Auge das Zehnfache des Augenabstands |AB| beträgt, so gilt: |SP| = 10·|PQ|.


Mathematik-Online, Strahlensätze


Bemerkung:

 Alle Strahlensatzfiguren sind durch ähnliche Dreiecke darstellbar.
In der Schulmathematik ist es üblich, die Strahlensätze folgendermaßen aufzuschreiben: Wenn zwei Strecken (Strahlen) mit gemeinsamen Schnittpunkt S von einem Paar paralleler Strecken gekreuzt werden, dann gilt:

1. Strahlensatz: SA : SP = SB : SQ.
2. Strahlensatz: SA : SP = AB : PQ.

Besser ist es aber, alle Strahlensatzfiguren als Dreiecke aufzufassen, die gleiche Winkel und daher auch gleiche Seitenverhältnisse haben. Die beiden Figuren und obige Antwort zeigen, dass man die Streckenverhältnisse dann direkt ablesen oder mit einer simplen Umformung berechnen kann - ohne Formeln zu bemühen.

In elementaren Lehrbüchern stehen zu den Strahlensätzen oft noch mehr als die zwei obigen Gleichungen. Das sind aber nur Umstellungen unter Einbeziehung der Relationen: |AP| = |SP| ± |SA| und |BQ| = |SQ| ± |SB|. Somit liefert der 1. Strahlensatz folgende Zusatzregeln:

SP : AP = SQ : BQ,
SA : AP = SB : BQ.

Auch diese Gleichungen darf man schnell wieder vergessen: Mathematik bedeutet, Zusammenhänge zu verstehen und eben nicht in Formeln zu denken. Die gebräuchliche Redewendung: „aus dem Strahlensatz folgt” ist dennoch hilfreich - wenn man damit ähnliche Dreiecke verbindet.
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