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Die Erde ist nicht vollkommen rund, dennoch kann man sie für Berechnungen der Sichtweite als Kugel mit einem Radius von 6.378 km identifizieren. Im ebenen Gelände ist daher der Horizont bei 1,80 m Sichthöhe knapp 5 km entfernt. Wir leiten hier die entsprechende Formel her:

Horizont

Absender: Trzeba@t-online.de

Fragestellung:
Ich wüßte gerne, wie weit man geometrisch (ohne atmosphärische Störungen) im ebenen Gelände von einem x Meter hohen Fernsehturm eine Kirchturmspitze der Höhe y sehen kann. Gibt es dafür eine einfache Formel?

Antwort:

Nachfrage: dieter.baecher@freenet.de
Bei Ihrer Antwort zur Berechnung der Sichtweite habe ich folgendes Problem: In der Seefahrt gibt es ja diese Aufgabenstellung auch: Allerdings wird hier in der gesamten Literatur mit e(sm) = 2,075 SQRT(x(m)) gerechnet. Nach Ihrer Formel ergibt sich aber: e(km) = 113 SQRT(x(m)/1000) = 3,57 SQRT(x(m)) mit 1sm = 1,852km e(sm) = 1,92 SQRT(x(m)). Ihre Lösung kann ich nachvollziehen, die "nautische" Lösung ist aber überall nachzulesen (ohne Herleitung). Wissen Sie dafür eine Erklärung?

Antwort: Wir haben gemäß der Fragestellung die geometrische Entfernung berechnet. Je nach Wetterlage kommt es in der Atmosphäre aber zu mehr oder minder starken Lichtbrechungseffekten, wodurch die optische Sichtweite im Vergleich zur geometrischen Entfernung erheblich größer ist. Setzt man dafür einen mittleren Streckungsfaktor von rund 1,08 an, ergibt sich die von Ihnen genannte Formel zur optischen Sichtweite.


Bemerkung: Der Abstand zum Horizont ist natürlich unabhängig von der Lichtbrechung und kann durch unsere geometrische Näherungsformel recht genau berechnet werden. Wenn man jedoch die Bogenlänge L zum Horizont messen möchte, muss man die Länge des Teilkreises bestimmen, der durch die Seiten des Dreiecks (siehe obige Skizze) begrenzt wird:

L = r ×(arccos(r/(r+x)) + arccos(r/(r+y))) .

Damit berechnet man also nicht die Länge der geraden Sichtlinie, sondern die Entfernung L auf der Erdoberfläche. Wenn sich Objekte höchstens 6.500 Meter über der Erdoberfläche befinden, ist die Längendifferenz von Sichtlinie und Bogenlänge L kleiner als 0,1%. Wir konstruieren jetzt aber ein Beispiel, wo es sinnvoll ist, ausdrücklich die Bogenlänge L zu bestimmen:

Der Gipfelpunkt eines Nordlichtes befindet sich in 380 km Höhe über Islands Hauptstadt Reykjavik. Kann man es unter günstigen Bedingungen auch in Deutschland (Essen, 100 Meter NN) sehen? Lösung: Aus x = 380 km und y = 0,1 km folgt:

L = 6.378 km ×(arccos6378/6758 + arccos6378/6378,1) = 2.184 km.

Rechnet man wegen der Lichtbrechung noch 8 % zur Bogenlänge hinzu, bleibt zu prüfen, ob die Entfernung von Essen nach Reykjavik kleiner als 2.359 km ist. Dazu wenden wir auf das Kugeldreieck Nordpol-Reykjavik-Essen den Kosinussatz an (die Längen- und Breitenkoordinaten entnehmen wir einem Atlas), woraus sich die Bogenlänge von Essen nach Reykjavik mit 2.179 km ergibt.

Innerhalb des rot umrandeten Bereiches besteht die theoretische Möglichkeit, unser Polarlicht zu beobachten. Wahrscheinlich würde man aber trotz eines wolkenlosen Himmels in Deutschland wenig davon sehen, weil Dunst und Staubpartikel keine optimale Fernsicht zulassen. Wer dennoch Polarlichter mit eigenen Augen betrachten möchte, sollte im Winter zum Nordpol fahren. Dort findet das Schauspiel in der Ionosphäre mehrmals pro Woche statt.


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