Der flinke Achilles gibt einer Schildkröte einen Meter Vorsprung und holt sie anscheinend niemals ein, obwohl er das
k-fache Tempo seiner Gegnerin läuft. Sie ist nämlich 1/k Meter weitergelaufen,
wenn Achilles ihre Startposition erreicht. Legt er jetzt diese 1/k Meter zurück, so kommt die Schildkröte 1/k² Meter voran. Das setzt sich
endlos fort und ergibt die Reihe
1 + 1/k + 1/k² + 1/k³ + ... ad infinitum.
Der griechische Philosoph Zeno glaubte offenbar, dass diese Reihe nicht konvergiert und Achilles damit
den Wettlauf mathematisch gesehen verliert, egal wie schnell er ist.
Bemerkung
Der Grenzwert k/k-1 ergibt sich wie folgt:
Wir bilden die Partialsumme Sn:=
1 + 1/k + 1/k² + ... + 1/kn
und berechnen die Differenz
Sn - Sn/k
=
1 - 1/kn+1.
Daraus folgt: Sn =
(1 - 1/kn+1)/(1- 1/k).
Für k > 1 strebt die Folge der Quotienten mit n → ∞ gegen
1/(1 - 1/k)
=
k/k-1.
Zum Beispiel konvergiert für k = 10 die Reihe gegen die Zahl 10/9.
Dieses Resultat erhält man natürlich auch anhand der Dezimalbruchentwicklung:
1+1/10+1/10²+...
=
1 + 0,1 + 0,01 + ... = 1,1.
