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            Zeno der Eleate

Der berühmte Wettlauf zwischen Achilles und der Schildkröte geht auf den griechischen Philosophen Zeno von Elea (490 - 425 v. Chr.) zurück. Obwohl Achilles viel schneller als seine Gegnerin ist, kann er sie scheinbar niemals einholen:

Achilles und die Schildkröte

Frage
Worum geht es beim Lauf zwischen Achilles und der Schildkröte?

Antwort

Der flinke Achilles gibt einer Schildkröte einen Meter Vorsprung und holt sie anscheinend niemals ein, obwohl er das k-fache Tempo seiner Gegnerin läuft. Sie ist nämlich 1/k Meter weitergelaufen, wenn Achilles ihre Startposition erreicht. Legt er jetzt diese 1/k Meter zurück, so kommt die Schildkröte 1/k² Meter voran. Das setzt sich endlos fort und ergibt die Reihe
1 + 1/k + 1/k² + 1/k³ + ... ad infinitum.

Der griechische Philosoph Zeno glaubte offenbar, dass diese Reihe nicht konvergiert und Achilles damit den Wettlauf mathematisch gesehen verliert, egal wie schnell er ist.

Das lässt sich aber leicht klären: Wenn Achilles schneller als die Schildkröte läuft, ist k größer als 1. Zenos geometrische Reihe hat also den Grenzwert  k/k-1.

Bemerkung

Der Grenzwert k/k-1 ergibt sich wie folgt: Wir bilden die Partialsumme Sn:= 1 + 1/k + 1/k² +  ...  + 1/kn und berechnen die Differenz Sn - Sn/k = 1 - 1/kn+1. Daraus folgt: Sn = (1 - 1/kn+1)/(1- 1/k). Für k > 1 strebt die Folge der Quotienten mit n → ∞ gegen 1/(1 - 1/k) = k/k-1.

Zum Beispiel konvergiert für k = 10 die Reihe gegen die Zahl 10/9. Dieses Resultat erhält man natürlich auch anhand der Dezimalbruchentwicklung: 1+1/10+1/10²+... = 1 + 0,1 + 0,01 + ... = 1,1.

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