Der berühmte Wettlauf zwischen Achilles und der Schildkröte geht auf den griechischen Philosophen Zeno von Elea (490 - 425 vor Christus) zurück. Der legendäre Achilles ist zwar viel schneller als seine Gegnerin - aber einholen kann er sie dennoch nicht:

Achilles und die Schildkröte

Anfrage: Philipp Jahn, web

Worum geht es beim Lauf zwischen Achilles und der Schildkröte?

Antwort:

Der flinke Krieger Achilles gibt einer Schildkröte einen Meter Vorsprung und holt sie (anscheinend) niemals ein, auch wenn er das k-fache Tempo seiner Gegnerin läuft. Sie ist nämlich 1/k Meter weitergelaufen, wenn Achilles ihre Startposition erreicht. Legt er jetzt diese 1/k Meter zurück, so kommt die Schildkröte 1/k² Meter voran. Die Aufholstrecke summiert sich insgesamt auf 1 + 1/k + 1/k² + 1/k³ + ... ad infinitum.

Der griechische Philosoph Zeno war wohl davon überzeugt, dass die Addition von unendlich vielen positiven Zahlen keine endliche Summe liefert. Demnach könnte man mathematisch korrekt die unsinnige Aussage beweisen, dass Achilles den Wettlauf verliert, egal wie schnell er ist.

Hier irrte der antike Denker: Wenn Achilles schneller als die Schildkröte läuft, ist k größer als 1, und dann konvergiert Zenos unendliche geometrische Reihe gegen die Zahl k/k-1.

Bemerkung:

Der Grenzwert k/k-1 ergibt sich folgendermaßen: Für jede natürliche Zahl n bilden wir die Teilsumme S_n:= 1 + 1/k + 1/k² + 1/k³ + ... + 1/kⁿ. Daraus folgt: S_n - S_n/k = 1 - 1/kⁿ⁺¹. Wir klammern S_n aus, dividieren und erhalten die Summenformel: S_n = (1 - 1/kⁿ⁺¹)/(1- 1/k). Für alle k > 1 strebt die Folge der Quotienten mit wachsendem n gegen 1/(1 - 1/k) = k/k-1.

Zum Beispiel konvergiert im Fall k = 10 die zugehörige unendliche Reihe gegen die Zahl 10/9. Dieses Resultat erhält man natürlich auch anhand der Dezimalbruchentwicklung: 1+1/10+1/10²+... = 1 + 0,1 + 0,01 + ... = 1,1.

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