Der flinke Krieger Achilles gibt einer Schildkröte
einen Meter Vorsprung und holt sie (anscheinend) niemals ein, auch wenn er das
k-fache Tempo seiner
Gegnerin läuft. Sie ist nämlich
1/k Meter weitergelaufen, wenn Achilles ihre Startposition erreicht. Legt er jetzt diese 1/k Meter zurück,
so kommt die Schildkröte 1/k² Meter voran. Die Aufholstrecke
summiert sich insgesamt auf
1 + 1/k + 1/k² + 1/k³ + ... ad infinitum.
Der griechische Philosoph Zeno war wohl davon überzeugt, dass die Addition von unendlich vielen positiven
Zahlen keine endliche Summe liefert. Demnach könnte man mathematisch korrekt die unsinnige Aussage beweisen,
dass Achilles den Wettlauf verliert, egal wie schnell er ist.
Bemerkung:
Der Grenzwert k/k-1 ergibt sich folgendermaßen:
Wir bilden die Summe
Sn:=
1 + 1/k + 1/k² + 1/k³ + ... + 1/kn, somit gilt:
Sn - Sn/k =
1 - 1/kn+1. Daraus folgt: Sn
= (1 - 1/kn+1)/(1- 1/k), und
für jedes gegebene k > 1 strebt die Quotientenfolge mit wachsendem n gegen
1/(1 - 1/k) =
k/k-1.
Zum Beispiel konvergiert im Fall k = 10 die zugehörige unendliche Reihe gegen die Zahl 10/9.
Dieses Resultat erhält man natürlich auch anhand der Dezimalbruchentwicklung:
1+1/10+1/10²+...
=
1 + 0,1 + 0,01 + ... = 1,1.
