Die Eulersche Zahl e = 2,718... und die Kreiszahl
π = 3,141...
haben unendlich viele Kommastellen, die sich nicht periodisch wiederholen - für die Zahl e
werden wir das gleich beweisen.
Zuvor zeigen wir, wie e und
π sowie
das imaginäre i =
√-1
miteinander verbunden sind. Hierzu setzen wir
π/2 in die Eulersche Formel
e
ix
= cos
x
+ i
·sin
x
ein, potenzieren beide Seiten der Gleichung mit i und erhalten:
Für die drei fundamentalen Zahlen der
Mathematik gilt somit der Satz:
i hoch i ist Kehrwert der Wurzel aus e hoch pi.
Das ist ungefähr so, als wären Homer, Shakespeare und Goethe in direkter Linie verwandt.
Ferner gibt es erstaunliche Reihenentwicklungen von
π und
e. Die Taylorsche Formel liefert zum Beispiel die Gleichung:
e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...
Diese Darstellung und das zugehörige Lagrangesche Restglied zeigen nun,
dass die Eulersche Zahl kein periodischer Dezimalbruch, also irrational ist - für Facharbeiten in der Schule ist das offenbar
ein beliebtes Thema:
Eulersche Zahl
Anfrage:
Frank Michler, gmx
Wie kann bewiesen werden, dass e irrational ist?
Antwort:
Angenommen, die Eulersche Zahl e ist rational, dann gibt es natürliche Zahlen p, q mit e = p/q.
Es sei n0 = max{q , 3}; damit ist
e·n0!
eine ganze Zahl. Ferner liefert die Taylorsche Formel (mit dem Lagrangeschen Restglied) die Gleichung:
e = 1 + 1 + 1/2! + ... + 1/n0! +
eμ / (n0 + 1)!. Daher gilt:
e·n0! -
[2·n0!
+
(3·...·n0) + ... + 1]
= eμ / (n0+ 1) mit 0 < μ < 1.
Die linke Seite der Gleichung ist ganzzahlig, weil nach obiger Voraussetzung
e·n0! eine ganze Zahl ist.
Daher muss auch die rechte Seite
eμ / (n0 + 1)
eine ganze Zahl sein. Wegen der evidenten Relationen 0 < eμ < e < 3 erhalten wir nun die
dazu widersprüchliche Aussage:
0 < eμ / (n0 + 1) < 3/4.
Bemerkung:
Leonhard Euler
1707 - 1783
Die Eulersche Zahl ist nach Leonhard Euler benannt, der e als Basis des natürlichen Logarithmus einführte.
Euler ist sofort nach Archimedes, Newton und Gauß als einer der
größten Mathematiker zu nennen.
Dabei hatte der Schweizer ein heiteres Wesen, dreizehn Kinder und einen anschaulichen Schreibstil.
Er wollte andere nicht beeindrucken, sondern verstanden werden.
Folgende Überlieferung zeugt von Eulers Humor:
Am Hof von St. Petersburg verkündete der französische Aufklärer Diderot den
Atheismus und man forderte ihn zu einem Disput mit Euler auf, der
in der Stadt eine Akademie leitete. Vor
versammeltem Hofe wandte sich Euler mit freundlichem Gesicht an den Franzosen:
„Monsieur, es ist a + b
n/n = x,
also existiert Gott; antworten Sie!” Diderot war sprachlos, wurde ausgelacht und
reiste Hals über Kopf
nach Frankreich zurück.
