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In der analytischen Geometrie ist nicht allein die Form, sondern auch die Lage eines Objektes von Bedeutung. Die klassische Geometrie ignoriert dagegen Unterschiede, die durch Verschiebung, Rotation oder Spiegelung hervorgerufen werden. Abstrahiert man selbst von Form, Größe und Winkel, so kommt man zur Topologie, wo Objekte bereits als "gleich" betrachtet werden, wenn sie durch Verbiegung oder Dehnung ineinander übergehen - wie zum Beispiel Dreieck und Kreis oder die beiden folgenden Figuren:

Salopp ausgedrückt unterscheidet man topologische Objekte anhand der Anzahl ihrer Löcher, nach denen man mit Hilfe von geschlossenen Kurven fahndet. So sind etwa Kugel und Torus (Fahrradschlauch) topologisch verschieden, weil man nur auf der Kugel jede geschlossene Kurve durch hinreichende Schrumpfung auf einen Punkt zusammenziehen kann:

Vermutung von Poincaré

Absender: tanja@lz.math.uni-frankfurt.de

Fragestellung:
Was ist die Poincaresche Vermutung?

Antwort:
Poincaré hat die Vermutung aufgestellt, daß die n-Sphäre - also die Oberfläche einer (n+1)-dimensionalen Vollkugel - die einzige geschlossene n-Mannigfaltigkeit ist, auf der jede geschlossene Kurve zu einem Punkt zusammengezogen werden kann, ohne dabei diese Fläche zu verlassen.

Bemerkung:
Es lässt sich anschaulich leicht zeigen, dass die weiter oben dargestellten Figuren A und B topologisch gleich sind:




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