Ist es möglich, aus gleich langen Streichhölzern ein rechtwinkliges Dreieck zusammenzusetzen? In der hier abgebildeten Konstellation funktioniert das offensichtlich nicht. Das kann man sich anschaulich klarmachen oder rechnerisch mit Hilfe des Satzes von Pythagoras. Wenn man nämlich die Anzahl der horizontalen Hölzchen mit m und die der vertikalen mit n bezeichnet, dann müssen auf der Diagonale genau √m² + n² Hölzchen liegen. Erforderlich ist also, dass m²+n² eine Quadratzahl ergibt, weil wir keines der Streichhölzer abbrechen dürfen:

Es gibt somit unendlich viele rechtwinklige Dreiecke, die wir aus unseren Streichhölzern konstruieren können. Das kleinste Dreieck besteht aus drei bzw. vier Hölzchen auf den zwei kurzen Seiten und fünf auf der Diagonale. Aus der Lösung (3, 4, 5) unserer Dreiecksaufgabe erhalten wir nun durch Multiplikation mit einer ganzen Zahl d die Lösung (3d, 4d, 5d). Das Tripel (3, 4, 5) sowie alle pythagoräischen Tripel (m, n, q) ∈ IN³ mit ggT(m, n, q) = 1 heißen primitiv. Aus der Menge der primitiven Tripel lassen sich durch Multiplikation mit ganzen Zahlen alle pythagoräischen Tripel erzeugen

Die Gleichung x² + y² = z² hat also unendlich viele ganzzahlige Lösungen, aber bereits x³ + y³ = z³ ist mit ganzen Zahlen nicht mehr lösbar (außer in den trivialen Fällen: x, y oder z gleich Null). Sogar für alle Exponenten n > 2 existieren keine Lösungen - das besagt Fermats großer Satz. Der Beweis dieser Aussage passt aber, lapidar formuliert, nicht auf diese Seite.