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Auch der große Pierre de Fermat war nicht unfehlbar, wie seine folgenden Zeilen an den Mathematiker Mersenne zeigen:

Ich fand heraus, dass alle Zahlen der Form (2 hoch 2n) + 1 Primzahlen sind und habe den Mathematikern längst die Wahrheit dieses Satzes berichtet!

Fermatsche Zahlen

Anfrage:   Andreas Bloemer, gmx
Neulich habe ich das Buch von Simon Singh: „Fermats letzter Satz” gelesen, wo es heißt, dass sich alle Feststellungen von Fermat irgendwann als richtig erwiesen haben. Sie erwecken dagegen auf Ihrer Fermat-Seite den Eindruck, als hätte er auch Fehler gemacht. Können Sie das mit einem Beispiel belegen?

Antwort:

Ohne Zweifel war Fermat genial - aber selbstverständlich kein Übermensch. Das zeigt sich an seinen „Fermatschen Zahlen” (2 hoch 2n) + 1, von denen er immer behauptete, dass sie für jeden natürlichen Exponenten n stets Primzahlen seien.

Bereits die Fermatsche Zahl (2 hoch 25) + 1 = 232 + 1 zerfällt aber in nichttriviale Faktoren - das fand Leonhard Euler im 18. Jahrhundert heraus. Bis heute hat man sogar für Exponenten n > 4 keine Fermatsche Zahl gefunden, die eine Primzahl ist.


Bemerkung:

Die Faktorisierung der obigen Zahl 232 + 1 ergibt sich ohne elektronische Hilfsmittel zum Beispiel wie folgt: 232 + 1 = (54 + 24)·228 - (54·228 - 1) = (54 + 24)·228 - [(5·27)2 + 1] ·[(5·27)2 - 1]. Wegen 54 + 24 = 5·27 + 1 gilt damit: 232 + 1 = [5·27 + 1] ·[228 - ((5·27)2 + 1)·(5·27 - 1)].

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