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Teilbarkeitsregeln zum Divisor d ergeben sich durch die Restklassen der Zehnerpotenzen im Restklassenrings Z/dZ.
Zum Beispiel liegen alle Potenzen 100, 101, 102 ... in Z/3Z in der Restklasse 1, folglich ist eine ganze Zahl genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
Im Restklassenring Z/7Z bilden die Zehnerpotenzen dagegen sechs verschiedene Restklassen:
Quersumme und Siebener-Regel
Frage
Bekanntlich kann man durch Bildung der Quersumme prüfen, ob eine Zahl
durch 3 teilbar ist. Auch für andere Divisoren kenne ich
ähnliche Regeln. Aber die Teilbarkeitsregel zur Zahl 7 ist mir
unbekannt! Gibt es für die Sieben eine solche Regel?
Antwort
Es gibt zum Beispiel die 1,3,2-Regel:
7 teilt genau dann die Zahl mit den Ziffern cba
(also
die Zahl a + 10b +
100c ),
wenn 1·a
+ 3·b
+ 2·c
durch 7 teilbar ist. Wir wenden das auf die Zahl 154 an:
1·4
+ 3·5
+ 2·1
= 21 ist ein Vielfaches von 7, also ist 154 durch 7 teilbar.
Bei Zahlen mit mehr als drei Stellen ist dann
(von
hinten
gezählt)
die 4. bis 6. Stelle, 10. bis 12. Stelle ... jeweils noch mit
-1
zu multiplizieren.
Beispiel: 94.261.285.699 hat bei der Division durch 7 den gleichen Rest wie
1
·9
+ 3
·9
+ 2
·6
- 1
·5
- 3
·8
- 2
·2
+ 1
·1
+ 3
·6
+ 2
·2
- 1
·4
- 3
·9
= 7.
Bemerkung
Die obige Siebener-Regel kann man wie folgt herleiten.
Bei der Division durch 7 ergibt sich für
10
0 der Rest 1, für 10
1 der Rest 3,
10
2 hat den Rest 2, 10
3 den Rest -1, 10
4
den Rest -3 und 10
5 den Rest -2.
Schließlich liefert 10
6 wieder den Rest 1 und daraus folgt:
10
k+6
hat bei Division durch 7 den gleichen Rest wie 10
k.
Die Reste aller Zehnerpotenzen erhält man somit
zyklisch aus den Resten von 10
0, ... ,10
5.
Wenn man nur die Potenzen 10
3k betrachtet, ergibt sich also bei der Division durch 7 für alle geraden k der Rest 1 und für ungerade k der Rest -1 und damit folgende
Regel, die man problemlos auf beliebig große Zahlen anwenden kann:
Siebener-Regel II
Frage
Ihre 1,3,2-Regel war mir bislang unbekannt, ich kenne aber ein ähnliches Verfahren,
die „alternierende Summe von Dreiergruppen”.
Man teilt z.B. 23435325532 von hinten an in Dreiergruppen ein, bildet die alternierende
Summe 532 - 325 + 435 - 23 und prüft, ob das Ergebnis durch 7 teilbar ist.
Könnten Sie mir sagen, warum das funktioniert?
Antwort
Die Division von 100 durch 7 ergibt den Rest 1,
103 hat den Rest -1, 106 den Rest 1
und 109 den Rest -1. Bei der Division durch
7 erhält man daher für die Zahlen
23.435.325.532 = 532·100
+ 325·103
+ 435·106
+ 23·109
und 532·1 +
325·(-1) +
435·1 +
23·(-1) den gleichen Rest.
Nun folgt noch eine ganz einfache Siebener-Regel:
Siebener-Regel III
Frage
Ich unterrichte an einer Gesamtschule unter anderem in der
10. Jahrgangsstufe Mathematik und habe meinen Schülern die
Aufgabe gestellt, im Internet nach Teilbarkeitsregeln für
die 7 zu suchen. Einer meiner Schüler kam mit folgender Regel:
Man verdoppelt die letzte Ziffer einer Zahl x und
zieht das von der restlichen Zahl
(ohne
die letzte
Ziffer)
ab. Wenn diese Differenz
eine durch 7 teilbare Zahl ist, dann ist die ursprüngliche Zahl x auch
durch 7 teilbar.
Beispiel: x = 315 31 - 2·5 = 21
ist durch 7 teilbar, also ist 315 durch 7 teilbar.
1. Frage: Ist diese Regel korrekt oder gibt es Einschränkungen?
2.Frage: Wie beweist man das?
Antwort
7 teilt genau dann -2a + b + 10c + ... , wenn
das Produkt
10·(-2a + b + 10c + ... ) = -20a + 10b + 100c + ... durch 7 teilbar ist.
Bei der Division durch 7 haben zudem -20a und a den gleichen Rest, denn die Differenz -20a - a = -21a ist durch 7 teilbar. Daher
ist a + 10b + 100c + ... genau dann durch 7 teilbar, wenn 7 die Zahl -2a + b + 10c + ... teilt. Das ist bereits der Beweis - die Regel gilt also uneingeschränkt.