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Man kann beliebig viele Gruppen mit 8 Elementen konstruieren. Es ist jedoch üblich und sinnvoll, isomorphe Gruppen nicht zu unterscheiden. In diesem Sinne gibt es fünf Gruppen der Ordnung 8, nämlich:
Z/8Z,    Z/4Z ´ Z/2Z,    Z/2Z ´ Z/2Z ´ Z/2Z,    D4,    Q.
Die Quaternionen-Gruppe Q kann man zum Beispiel als eine Untergruppe der invertierbaren 2´2-Matrizen über den komplexen Zahlen identifizieren:

Quaternionen

 Absender: aix.wolff@t-online.de

Fragestellung:
Die Gruppe der Quaternionen scheint in der Mathematik eine besondere Rolle zu spielen. Ich wüsste gerne, wie diese Gruppe definiert ist und warum sie so eine Bedeutung hat.

Antwort:
Wir betrachten die Menge: {±E, ±I, ±J, ±K }. Jedes dieser 8 Elemente kann man mit einer 2 ´ 2-Matrix identifizieren:
Mit der üblichen Multiplikation von Matrizen und der Relation i2 = -1 erhält man sofort die multiplikative Gruppe Q der Quaternionen. Ihre Bedeutung liegt u.a. darin, dass jede nichtabelsche Gruppe G der Ordnung 8 isomorph zu Q ist, wenn G nicht zur Diedergruppe D4 isomorph ist.

Bemerkung:
Für die Elemente E, I, J, K ergibt sich aus der Matrizen-Multiplikation das Verknüpfungs-Schema:


Aus der Relation (-E)×X = -X für alle X Î Q erhält man dann die Verknüpfungstafel der Quaternionen-Gruppe Q. An dieser Tafel lässt sich ganz einfach ablesen, dass Q nicht zur Diedergruppe D4 isomorph ist, weil in Q nur die Elemente ±E eine Ordnung £ 2 haben. In der D4 (Symmetriegruppe des Quadrates) sind dagegen die Drehungen um 180° und 360° und natürlich die Spiegelungen von einer Ordnung £ 2.

Selbstverständlich kann man Matrizen auch addieren und mit reellen Zahlen multiplizieren. Wenn wir auf diese Weise mit der Quaternionen-Gruppe verfahren, ergibt sich das einfachste Beispiel für einen Schiefkörper - die Hamiltonschen Quaternionen -, benannt nach dem Iren



William R. Hamilton
1805 - 1865


Für Anwendungen in der Dynamik, Astronomie und Wellentheorie suchte Hamilton fünfzehn Jahre lang nach einer geeigneten Multiplikation in der vierten Dimension. Auf einem Spaziergang kam ihm dann die geniale Idee, einfach auf das Kommutativgesetz zu verzichten. Voller Begeisterung über seine Entdeckung ritzte er sofort die Formeln:

ij = k     ji = -k      jk = i     kj = -i      ki = j     ik = -j

in den Pfeiler einer Brücke, auf der er gerade stand. Dies war allerdings auch der Beginn einer Tragödie, denn von diesem Zeitpunkt an arbeitete er Tag und Nacht daran, mit seinen Quaternionen den ganzen Kosmos erklären zu wollen. Er verfiel dem Alkohol, und nach seinem Tode entdeckte man in seinem Arbeitszimmer unter Bergen mathematischer Aufzeichnungen eine unglaubliche Menge von Tellern mit eingetrocknetem Essen. Die einzige Zerstreuung in seinen letzten 20 Lebensjahren war das Verfassen von Gedichten - er war ein Sprachgenie und beherrschte im Alter von 13 Jahren bereits 15 völlig verschiedene Sprachen.

Am 2. September 1865 starb Hamilton an der Gicht. Seine mathematischen und physikalischen Leistungen sind so überragend, dass er unangefochten als größter Mathematiker und Naturwissenschaftler gilt, den Irland je hervorgebracht hat.


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