Aus jeder natürlichen Zahl lassen sich unendlich viele Brüche konstruieren - dennoch kann man alle Brüche mit Hilfe der natürlichen Zahlen paarweise verschieden nummerieren. Der Kunstgriff besteht darin, die nichtnegativen Brüche zweidimensional anzuordnen und diagonal abzuzählen. In unserer Skizze liegt m/n auf der Diagonale D_m+n an der n-ten Stelle und erhält somit die vorläufige Nummer 1 + 2 + ... + m + n
- 1 + n = ½·(n+m)·(n+m-1) + n. Mit der Zahl 2 multipliziert ergibt das für m/n die endgültige gerade Nummer (n+m)² + (n-m). Daher können wir -m/n die noch freie ungerade Nummer (n+m)² + (n-m) - 1 geben.

Unsere Nummerierung aller Brüche liefert (etwa durch Auswahl der jeweils kleinsten Nummer) eine Abzählung der rationalen Zahlen. Diese Methode geht auf den Mathematiker Georg Cantor (1845 - 1918) zurück und heißt Cantorsches Diagonalverfahren. Cantor konnte mit einer ähnlichen Idee zudem beweisen, dass die reellen Zahlen nicht abzählbar (überabzählbar) sind:

Bemerkung:

Im Unendlichen hat die alltägliche Vorstellung von Anzahl und Indizierung also keinen festen Platz, insbesondere nicht in Hilberts Hotel, dessen Erbauer der deutsche Mathematiker David Hilbert (1862 - 1943) ist. Falls dort alle der unendlich vielen durchnummerierten Zimmer belegt sind und ein neuer Gast kommt, ziehen die anderen Gäste einfach von Zimmer n nach n+1 um, wodurch Zimmer 1 zur Verfügung steht. Es lassen sich sogar abzählbar unendlich viele weitere Besucher unterbringen, indem die vorhandenen Bewohner von Zimmer n nach 2n wechseln und damit die ungeraden Nummern frei werden. Wenn aber die reellen Zahlen anreisen, versagt selbst die raffinierteste Zimmeraufteilung ...