Eine Zahlenfolge konvergiert genau dann, wenn der größte Häufungspunkt Limes superior (lim sup) und der kleinste Häufungspunkt
Limes inferior (lim inf) übereinstimmen.
Analog verhält es sich bei Mengenfolgen, wobei lim sup und lim inf dabei natürlich Mengen sind:
Es sei (An) eine Folge von Teilmengen irgendeiner Menge M ≠ ∅ und
lim sup(An) := {x ∈ M: x ∈ An für unendlich viele n ∈ IN} sowie
lim inf(An) := {x ∈ M: ∃ nx ∈ IN, so dass x ∈ An für alle n ≥ nx}.
Die Folge (An) heißt konvergent, wenn lim sup(An) = lim inf(An) gilt. Dann definiert man den Grenzwert lim(An):= lim sup(An)
= lim inf(An).
Limes superior, Limes inferior einer Menge
Frage
Wie zeigt man folgende Aussagen?
(i) lim inf(An) ⊂ lim sup(An)
(ii) Jede monotone Mengenfolge (An) konvergiert. (Eine Folge (An) ist monoton fallend, falls An ⊃ An+1 für alle n∈IN gilt;
monoton wachsend ist analog definiert.)
Antwort
(i) Es sei x ∈ lim inf(An), dann gibt es unendlich viele n mit n ≥ nx. Folglich liegt x für unendlich viele n in An und damit in
lim sup(An).
Der Beweis ist also evident bis auf die genaue Formulierung, die eben nicht lautet, dass x in unendlich vielen An liegt (weil die An nicht
verschieden sein müssen).
(ii) Die Menge lim inf(An) besteht aus den Elementen von M, die jeweils in allen bis auf endlich vielen An liegen. Also gilt:
lim inf(An) = (A1 ∩ A2 ∩ ...) ∪ (A2 ∩ A3 ∩ ...) ∪
... ad infinitum. Im Fall
An ⊂ An+1 für alle n ∈ IN folgt somit:
lim inf(An) = A1 ∪ A2 ∪ ... ⊃
(A1 ∪ A2 ∪ ...) ∩ (A2 ∪ A3 ∪ ...) ∩ ... =
lim sup(An). Daher gilt mit (i): lim inf(An) = lim sup(An). Jede monoton wachsende Folge konvergiert also gegen die
Vereinigung aller Folgeglieder. Analog zeigt sich, dass jede monoton fallende Folge gegen den Durchschnitt aller Folgeglieder konvergiert.
Beispiele:
Es sei M = IN und An:= {m ∈ IN: m teilt n}. Weil zwei aufeinander folgende Zahlen stets teilerfremd sind, gilt
An ∩ An+1 = {1} für alle n ∈ IN und es folgt: lim inf(An) = {1}. Ferner teilt jede natürliche Zahl m die unendlich vielen Zahlen m, 2m,
3m ... Daher liegt jedes m ∈ IN in unendlich vielen An (es gibt also unendlich viele n mit m ∈ An) und somit gilt: lim sup(An) = IN. Die Mengenfolge (An)
konvergiert also nicht.
Nun sei An:= {m ∈ IN: n teilt m}, das ergibt die Mengenfolge
IN, 2IN, 3IN,...
Obwohl alle Folgeglieder unendlich viele Elemente enthalten, konvergiert die Folge gegen die leere Menge.
Jede natürliche Zahl m kann nämlich höchstens in A1, A2, ..., Am liegen. Daher gilt: lim sup(An)
= ∅ = lim inf(An).
