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Im Alltag kalkuliert man ständig intuitiv mit Wahrscheinlichkeiten, etwa: Wie riskant ist es, kurz vor einer gelben Ampel auf das Gaspedal zu treten? Natürlich ist es von Vorteil, W'keiten nicht nur aus dem Bauch heraus, sondern genau bestimmen zu können. Beim Kartenspielen ist das kein Problem:

Doppelkopf

Frage
Beim Doppelkopf ohne Neunen gibt es 40 Karten. Jeder der vier Spieler bekommt 10 Karten, und alle Karten sind doppelt.

1) Wie wahrscheinlich ist eine Hochzeit, dass also ein Spieler beide Kreuzdamen hat?
2) Ist die W'keit beim Spiel mit Neunen größer oder kleiner?
3) Wie hoch ist die W'keit, dass es den ganzen Abend mit vier Runden (4 Spiele pro Runde) keine Hochzeit gibt, wenn ohne Neunen bzw. mit Neunen gespielt wird.
4) Ohne Neunen gibt es vier Herzkarten (zwei Asse, zwei Könige), die keine Trümpfe (Fehlkarten) sind. Mit welcher W'keit hat jeder Spieler eine Herz-Fehlkarte?

Antwort

1) Für eine Kreuzdame gibt es 40 mögliche Plätze, und zu jedem dieser Plätze bleiben für die andere Kreuzdame 39 mögliche Plätze. Das ergibt 40×39 Kombinationen, aber nur 40×39/2! = 780 sind verschieden, weil wir die beiden Damen nicht unterscheiden. Bei den zehn Karten eines Spielers erhalten wir analog 10×9/2! = 45 Kombinationen der beiden Kreuzdamen. Jeder Spieler hat also mit der W'keit 45/780 = 3/52 beide Kreuzdamen. Die W'keit für eine Hochzeit beträgt somit bei vier Spielern 4×3/52 = 3/13 ≈ 23%.

2) Mit Neunen ist 4 × (12×11/2) / 48×47/2 = 11/47 ≈ 23,5% die W'keit für eine Hochzeit.

3) Ohne Neunen beträgt die W'keit (1 -3/13)4 ≈ 35%, dass in der ersten Runde keine Hochzeit vorkommt. Die W'keit, dass das in allen vier Runden so ist, beträgt rund 0,354 ≈ 1,5%. Mit Neunen ergibt sich eine W'keit von rund 1,4%.

4) Es gibt 40×39×38×37 Möglichkeiten, die vier Herz-Fehlkarten auf 40 Plätze zu verteilen. Die vier Karten brauchen wir hier aber nicht zu unterscheiden, also dividieren wir die obige Anzahl durch 4! = 24 und erhalten 91390 Möglichkeiten. Eine Herz-Fehlkarte kann unter den 10 Karten eines Spielers an 10 Stellen platziert sein. Die gesuchte W'keit beträgt daher 104/91390 ≈ 11%.

Eigentlich geht es aber darum, ob eine blank aufgespielte Herz-Fehlkarte von allen bedient werden kann (klappt natürlich nur, wenn alle vier Herz-Fehlkarten noch im Spiel sind).
Das ist nur scheinbar dasselbe wie in 4) - der entscheidende Unterschied liegt in der Voraussetzung, dass ein Spieler genau eine Herz-Fehlkarte hat. Die übrigen drei Herz-Fehlkarten sind somit auf 30 Plätze verteilt. Der Herzstich geht dann mit der W'keit 103 / 30×29×28/3! = 50/203 ≈ 25% durch.



Ergänzung: Fuchs sticht ein

Beim Doppelkopf ohne Neunen wird ein aufgespieltes Herz-Ass oft mit einem Karo-Ass (Fuchs) gestochen. Wenn man vom Normalfall (blankes Herz-Ass, zuvor niemand Herz abgeworfen) ausgeht, haben die beiden übrigen Spieler zusammen drei Herz-Fehlkarten.

Zwei Spieler X, Y haben also zusammen 20 Karten bekommen, darunter drei Herz-Fehlkarten. Die drei Karten unterscheiden wir in dieser Situation nicht, damit gibt es 20×19×18/3! = 1140 Möglichkeiten,

20 Karten, 3 Herz-Fehlkarten

die drei Karten auf 20 Plätze zu verteilen.

Genau dann können X und Y Herz bedienen, wenn entweder das Ereignis
E1 := {X hat genau eine Herz-Fehlkarte} oder das Ereignis
E2 := {Y hat genau eine Herz-Fehlkarte} eintritt.
Es gibt 10 Möglichkeiten, eine Herz-Fehlkarte bei Spieler X zu platzieren,

10 Karten X, 10 Karten Y
und zu jeder dieser 10 Möglichkeiten gibt es 10×9/2 = 45 Möglichkeiten, die zwei übrigen Herz-Fehlkarten bei Y zu platzieren. Somit gilt P(E1) = 10×45 / 1140 = 15/38, analog folgt P(E2) = 15/38. Die Ereignisse E1, E2 sind unvereinbar, das heißt P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) = 15/38 + 15/38 = 15/19. Herz kann also mit der W'keit 15/19 ≈ 79% von beiden Spielern X, Y bedient werden. Diese W'keit ist aber nur dann von Interesse, wenn der Fuchs direkt hinter Vorhand (Herz-Ass) sitzt.

Falls der Fuchs an 3. Stelle sitzt (o.B.d.A. X an 2. Stelle), geht es um die bedingte W'keit P(B|A) mit A:={X kann Herz bedienen} und B:={Y kann Herz bedienen}. Es gilt P(A) = 17/19, P(A ∩ B) = 15/19, d.h. P(B|A) = 15/19 / 17/19 = 15/17 ≈ 88%. Folglich verringert sich das Risiko für den Fuchs erheblich, wenn er nicht als zweite, sondern als dritte Karte einsticht - was auch anschaulich klar ist.
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