Mit der oft zitierten Aussage: „Parallele Geraden schneiden sich im Unendlichen” ist gemeint, dass Geraden gleicher Richtung einen unendlich fernen Punkt gemeinsam haben. Dies gilt selbstverständlich nicht für die Schulgeometrie, sondern für die projektive Geometrie, deren Regelwerk den meisten Leuten unbekannt sein dürfte. Daher schafft es eher Verwirrung als Klarheit, wenn sich Geraden im Unendlichen schneiden:

Bemerkungen:

Der Polarstern ist 420 Lichtjahre von der Erde entfernt, somit darf man P und P' rein geometrisch betrachtet quasi als parallel ansehen. Allerdings ergibt sich aus der Lichtbrechung (Refraktion) in der Atmosphäre eine kleine aber relevante Abweichung, die wir hier auf einfache Weise berechnen wollen - dazu fassen wir die Erdatmosphäre als geradlinig begrenztes homogenes Medium auf. Nach dem Fermatschen Prinzip erreicht das Sternenlicht den Punkt B nicht auf dem kürzesten, sondern auf dem schnellsten Weg. Weil die Lichtgeschwindigkeit in der Erdatmosphäre kleiner als im luftleeren Kosmos ist, wird das Licht des Polarsterns auf dem Weg nach B derart gebrochen, dass er scheinbar etwas höher am Himmel steht.

Um den zugehörigen Winkel ω zu bestimmen, bezeichnen wir die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum mit c und in der Atmosphäre mit v. Mit Hilfe der Differentialrechnung (Extremwertaufgabe) erhalten wir: sinδ/sinω = c/v, also ω= arcsin(sinδ · v/c), wobei wir c = 299.792 km/sec und v = 299.704 km/sec setzen. Wenn der Polarstern geometrisch 50 Grad über dem Horizont steht (Zenitdistanz δ = 40 Grad), beträgt demnach die scheinbare Zenitdistanz ω rund 39,986 Grad. Die Lichtbrechung macht in diesem Fall also nur knapp eine Bogenminute aus und ist daher mit dem bloßen Auge kaum wahrnehmbar.

Natürlich ist man auch umgekehrt daran interessiert, aus der scheinbaren Zenitdistanz ω die geometrische (wahre) Zenitdistanz δ zu bestimmen. Astronomen berechnen δ aber nicht anhand des Terms arcsin(sinω · c/v), sondern näherungsweise mit der Formel: In den uns vorliegenden Astronomiebüchern besteht die Herleitung dieser Gleichung aus dem Additionstheorem für den Sinus und dem dürftigen Argument: sin x = x und cos x = 1 für jeweils kleine x. Wir wollen das nicht weiter kommentieren und geben lieber eine korrekte Herleitung (per Newtonverfahren) inklusive Fehlerabschätzung an: Wegen sinδ/sinω= c/v ist der gesuchte Winkel δ identisch mit der kleinsten nichtnegativen Nullstelle von f(x): = sin(x) - sinω · c/v. Aus dem Startwert x_o = ω ergibt sich: x₁ = ω - f(ω)/f '(ω) = ω + tanω · (c/v - 1). Wenn ω kleiner als 82 Grad ist, unterscheidet sich x₁ von arcsin(sinω · c/v) um weniger als 1/1000 Grad, wobei der relative Fehler unter 1% liegt.

Das sehr vereinfachende Modell einer geradlinig begrenzten homogenen Erdatmosphäre liefert Ergebnisse, die erstaunlich gut mit der wirklichen Lichtbrechung übereinstimmen, wenn das Beobachtungsobjekt einen hinreichenden Abstand zum Horizont hat. Andernfalls kann man ein Kugelschalenmodell verwenden, bei dem die Atmosphäre aus unendlich vielen Kugelschalen von infinitesimaler Dicke besteht. Den Brechungswinkel bestimmt man dann mit Hilfe der Integralrechnung.

Auf diese Weise ergibt sich zum Beispiel, dass jeder Sonnenuntergang einer Fata Morgana entspricht. Die Sonne ist in Wahrheit bereits vollständig untergegangen, obwohl sie scheinbar erst den Horizont berührt. Bei einem Zenitabstand von 90 Grad beträgt die Lichtbrechung nämlich rund 35 Bogenminuten, also etwas mehr als der volle Sonnendurchmesser.