Variation der Konstanten

In diesem Beitrag bestimmen wir durch „Variation der Konstanten” eine sogenannte partikuläre Lösung p der inhomogenen Differentialgleichung  y'' + ay' + by = s(x) mit a, b ∈ IR. Hierbei setzen wir voraus, dass die Störfunktion s ( auf einem Intervall J ) stetig ist.

Es sei (u, v) ein Fundamentalsystem der zugehörigen homogenen Gleichung. Wir verwenden den Ansatz von Lagrange p(x): = c(x)·u(x) + d(x)·v(x) und erhalten mit der Produktregel: p' = c'u + cu' + d'v + dv'. Der Einfachheit halber fordern wir:

(I)    c'u + d'v = 0.

Daraus folgt: p' = cu' + dv' und p'' = c'u' + cu'' + d'v' + dv''. Wir setzen p, p' und p'' in die inhomogene Differentialgleichung ein, klammern c und d aus und erhalten:

(II)    c(u'' + au' + bu) + d(v'' + av' + bv) + (c'u' + d'v') = s.

Weil u und v die homogene Differentialgleichung erfüllen, fallen die ersten beiden Klammern fort. Aus den Gleichungen I und II resultiert also das Gleichungssystem

c'u  + d'v  = 0
c'u' + d'v' = s.

Seine Lösungen sind: c' = sv / (u'v - uv') und d' = -su / (u'v - uv'). Man kann explizit berechnen, dass u'v - uv' keinesfalls eine Nullstelle hat. Folglich sind die Funktionen c' und d' überall auf dem Intervall J definiert und stetig, also integrierbar. Daher existiert prinzipiell eine partikuläre Lösung p und daher auch die allgemeine Lösung y = C₁u + C₂v + p mit C₁, C₂ ∈ IR. Darüber hinaus erhalten wir den bemerkenswerten Lehrsatz, dass jedes Anfangswertproblem:

y'' + ay' + b = s(x)     y(xo) = yo und y'(xo) = vo

genau eine Lösung besitzt.

Beispiel:

Wir lösen das Anfangswertproblem y'' + y = 3·sin 2x  mit y(0) = y'(0) = 0 :
Ein Fundamentalsystem (u, v) der homogenen Gleichung ist durch u(x) = sinx und v(x) = cosx gegeben. Daher gilt: c'= s·v = 3·sin 2x·cosx und d' = -s·u = -3·sin 2x·sinx. Die Stammfunktionen c und d bestimmt man durch partielle Integration. Schließlich ergibt sich aus der Gleichung p = cu + dv die partikuläre Lösung

p(x) = -2sinx ·cosx = -sin 2x,

die man hier ausnahmsweise auch durch „genaues Hinsehen” finden könnte. Somit ist y(x) = C₁·sinx + C₂·cosx - sin 2x die allgemeine Lösung unserer Differentialgleichung. Aus den Bedingungen y(0) = y'(0) = 0 errechnen wir die Werte C₁ = 2 und C₂ = 0. Die eindeutig bestimmte Lösung des Anfangswertproblems ist also y(x) = 2sinx - sin2x.

Hinweis:

Bei speziellen Störtermen, wie dem obigen, kann man die partikuläre Lösung auch mit weniger Aufwand berechnen: Der Störterm s(x) entspreche dem Realteil von z·expμx mit μ²+aμ+b ≠ 0. Dann ist der Realteil von

δ(x):= z·expμx / μ²+aμ+b

eine reelle partikuläre Lösung der Gleichung  y'' + ay' + by = s(x). Offensichtlich gilt nämlich: δ'' + aδ' + bδ = z·expμx. Daraus folgt: (Re δ)'' + a·(Re δ)' + b·(Re δ) = Re(z·expμx) = s(x). Beispielsweise entspricht der Störterm unserer Gleichung  y'' + y = 3·sin2x dem Realteil von -3i·exp2ix. Daraus ergibt sich: δ(x) = -3i·exp2ix / 4i²+1 und die partikuläre Lösung Reδ = -sin2x. Zu diesem Ergebnis sind wir zwar auch weiter oben mit Hilfe der Integralrechnung gelangt, allerdings wesentlich umständlicher.

Es gibt ein ähnlich elegantes Lösungsverfahren für Störterme der Gestalt q(x)·expμx, wobei q ein Polynom ist. Die Herleitung dieser Variante überlassen wir dem Leser.