Gleichungen, die Funktionen mit ihren Ableitungen verknüpfen, nennt man Differentialgleichungen. Sie gehören zu den grundlegenden Mitteln, um Naturgesetze zu verstehen und technisch zu nutzen.

Wir betrachten hier einen recht handlichen Typus unter den sogenannten gewöhnlichen Differentialgleichungen, wobei „gewöhnlich” bedeutet, dass die gesuchte Funktion y lediglich von x (also nicht von mehreren Variablen) abhängt.

Bemerkung:

Der Lösungsansatz y(x) = e^λx geht auf Leonhard Euler (1707 - 1783) zurück, wobei man heute kaum noch ermessen kann, wie genial diese Entdeckung war. Es liegt auf der Hand, nach anderen Lösungsansätzen zu fragen, die also nichts mit der Eulerschen Funktion zu tun haben. Man kann aber ohne viel Aufwand darlegen, dass es solche Lösungsfunktionen nicht gibt - vgl. obige Antwort. Für die hier untersuchten

(gewöhnlichen) homogenen linearen Differentialgleichungen
zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

folgt nämlich aus dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz, dass es zu jeder reellen Zahl xo aus einem offenen Intervall I und für alle komplexen Zahlen yo, vo genau eine Lösungsfunktion ψ gibt mit

ψ(xo) = yo und ψ'(xo) = vo.

(Weiter unten zeigt sich, dass wir das Intervall I mit IR identifizieren dürfen.) Mit Hilfe des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes ist es kein Problem, die Dimension des Lösungsraumes zu bestimmen. Aufgrund der speziellen Fragestellung haben wir in obiger Antwort allerdings nur den Fall nichtreeller Nullstellen des charakteristischen Polynoms betrachtet und zudem die Dimensionsberechnung nicht vorgeführt - was wir jetzt aber nachholen: Wir wählen also ein xo ∈ I und zwei Lösungsfunktionen Φ, η mit

Φ(xo) = 1 und Φ'(xo) = 0
η(xo) = 0 und η'(xo) = 1

sowie eine Lösung ψ mit ψ(xo) = yo und ψ'(xo) = vo. Wir definieren h:= ψ - (yo·Φ + vo·η), dann ist h(xo) = h'(xo) = 0, also ist h identisch mit der Nullfunktion. Daraus folgt: ψ = yo·Φ + vo·η, somit erzeugen Φ, η den Lösungsraum W. Angenommen, es gäbe eine komplexe Zahl z mit z·Φ = η; wegen η(xo) = 0 und Φ(xo) ≠ 0 müsste z = 0 sein und η wäre die Nullfunktion - im Widerspruch zu η'(xo) = 1. Daher sind Φ, η linear unabhängig und erzeugen, wie bereits gezeigt, den Raum W; folglich gilt: dim W = 2.

Für nichtreelle Nullstellen des charakteristischen Polynoms λ² + aλ + b haben wir bereits oben explizit ein reelles Fundamentalsystem berechnet. Damit dürfte auch klar sein, wie man mit zwei verschiedenen reellen Nullstellen verfährt. Im verbleibenden Fall der doppelten Nullstelle -a/2 ist exp(-ax/2) eine Lösungsfunktion, und man prüft leicht nach, dass dann auch x·exp(-ax/2) eine Lösung ist. Offensichtlich sind diese Funktionen linear unabhängig, also liegt wiederum ein Fundamentalsystem vor.
Damit ist auch klar, dass jede Lösung auf ganz IR definiert ist.

Physikalisch gesehen stellt die Differentialgleichung y'' + ay' + b = 0 mit konstanten Koeffizienten a, b > 0 gedämpfte Schwingungen dar und im Falle a = 0, b > 0 ungedämpfte Schwingungen. Wenn zusätzlich eine äußere Störkraft auftritt (erzwungene Schwingung), ergibt sich die inhomogene Differentialgleichung y''+ay'+b = s, wobei s eine stetige Funktion bezeichnet. Falls die Funktionen p, q diese inhomogene Gleichung erfüllen, liegt q-p im Lösungsraum W der homogenen Gleichung. Folglich kann man jede Lösung von y''+ay'+b = s in der Form p + W schreiben. Man muss daher irgendeine (partikuläre) Lösung p finden, was jedoch grundsätzlich kein Problem ist - siehe Variation der Konstanten.