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Rund um den Globus berechnen Computer unentwegt Funktionswerte - ansonsten gäbe es keine moderne Telekommunikation, Ärzte müssten auf hochtechnisierte Untersuchungen verzichten und die Meteorologen wären gezwungen, zum Himmel zu schauen, anstatt mit riesigem Rechenaufwand das Wetter mittels Maschinen zu prognostizieren. Hierzu ersparen wir uns kritische Anmerkungen und erläutern lieber eine mathematische Formel, die für unsere digitale Welt von fundamentaler Bedeutung ist:

Taylorsche Formel

Anfrage: Frank Lienhardt, t-online
Können Sie mir die Formel von Taylor und ihren praktischen Nutzen erklären ?

Antwort:

Mit Taylors Formel lassen sich insbesondere die für Technik und Naturwissenschaften unentbehrlichen transzendenten Funktionen (Logarithmus-, Exponential- und trigonometrische Funktionen) approximativ berechnen. Den Funktionswert f(x) ermittelt man anhand eines Interpolationspolynoms, dem n-ten Taylorpolynom Tn der Funktion f, das für jede Gradzahl n eindeutig bestimmt ist. Zur Berechnung der Koeffizienten von Tn benötigt man die ersten n Ableitungen der Funktion f, die also entsprechend oft differenzierbar sein muss.

Je größer man den Grad n wählt, umso genauer lässt sich f(x) berechnen. Hierbei ist entscheidend, dass man den Fehler | f(x) - Tn(x) | mit Hilfe des verallgemeinerten Mittelwertsatzes durch einen geschlossenen Term (Lagrangesches Restglied) abschätzen kann.


Mathematik-Online, Taylorsche Formel (Taylorscher Satz)


Bemerkungen:

Das n-te Taylorpolynom einer hinreichend oft differenzierbaren Funktion f (an der Stelle a) lautet:
Tn(x) = f(a) + (f '(a)/1!)·(x-a) + ... + (f (n)(a)/n!)·(x-a)n.
Das zugehörige Lagrangesche Restglied Rn ist folgendermaßen definiert: Rn(x)=(x-a)n+1·f(n+1)(a+δx-δa)/(n+1)!, wobei δ zwischen 0 und 1 liegt. Damit erhalten wir die denkwürdige Formel:   f(x) = Tn(x) + Rn(x), die nach dem englischen Mathematiker Taylor (ein Schüler von Newton) benannt ist.


Brook Taylor

Brook Taylor
1685 - 1731

Wir berechnen jetzt die transzendente Zahl 1/e und wählen zu diesem Zweck  f(x) = ex und die Stelle a = 0 aus. Dann gilt:   1/e = f(-1) = e0 + -1 · e0/1! + ... + (-1)n · e0/n! + (-1)n+1 · e(-1·δ)/(n+1)! Für die Gradzahl n = 14 erhalten wir: 1/e = 1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! - ... + 1/14! - eδ/15! und wegen e:= sup(1+1/k)k < 3 sowie 0 < δ < 1 folgt: 0,3678794411713 < 1/e < 0,3678794411719. Somit haben wir mit dem Satz von Taylor die ersten zwölf Nachkommastellen von 1/e ermittelt. Prinzipiell könnten wir 1/e sogar auf jede beliebige Anzahl von Dezimalstellen genau berechnen. Für alle x konvergiert nämlich die (unendliche) Taylorreihe   f(0) + x · f '(0)/1! + ... + xn · f (n)(0)/n! + ... = 1 + x/1! + ... + xn/n! + ...   gegen f(x) = ex.

Die Entwicklung einer Funktion in eine unendliche Reihe von Potenzen des Terms x-a (meist a = 0) bezeichnet man ganz naheliegend als Potenzreihe. Solche Reihen dienen nicht nur der Berechnung von Funktionswerten - sie zählen zu den wichtigsten Objekten der Analysis überhaupt.

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