Wiederholt man ein Zufallsexperiment sehr oft, so pendelt sich die relative Häufigkeit meist auf die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ein. Diese alltägliche Gesetzmäßigkeit (von Jakob Bernoulli zuerst untersucht) sagt aber nichts über den Verlauf von absoluten Häufigkeiten aus:

Das Bernoullische Gesetz der großen Zahlen wird nicht allein am Stammtisch, sondern auch in vielen populärwissenschaftlichen Beiträgen missgedeutet. Die Autoren verwechseln Ursache und Wirkung, so dass der Eindruck entsteht, als beeinflusse das Gesetz den Zufall. Daraus ergäbe sich dann eine Art Ausgleichsprinzip, das beim Roulette und Lotto die Ziehungsrückstände ganz gerecht wieder aufhebt - der Irrtum liegt also im Glauben an eine absolute Häufigkeit, die gegen den Erwartungswert strebt. Noch beliebter ist die Aussage, dass die relative Häufigkeit immer besser der Wahrscheinlichkeit entspricht, je öfter man ein Experiment wiederholt. Das Wort „immer” zeugt hier ebenfalls von einem Missverständnis.

Wir erläutern jetzt das Gesetz der großen Zahlen, wobei es eigentlich mehrere Varianten davon gibt. Für den Einstieg reicht es aber vollkommen aus, nur die nach Bernoulli benannte Version zu betrachten:

Ein Zufallsexperiment (zum Beispiel die Ziehung der Lottozahlen) werde n-mal unabhängig ausgeführt. Das Ereignis A habe die Wahrscheinlichkeit p und h sei die absolute Häufigkeit von A nach n Versuchen. Wählt man die Zahl n hinreichend groß, so kann man auch mit großer Gewissheit davon ausgehen, dass der Abstand der relativen Häufigkeit h/n zu p unter eine beliebig vorgegebene Fehlerschranke ε > 0 fällt. Setzt man nämlich in die Tschebyscheffsche Ungleichung die Binomialverteilung Bn,p ein, ergibt sich:

Bn,p { h ∈ {0,...n} : | h/n - p | ≥ ε }  ≤  p(1-p) / nε²  ≤  1/4nε².

Die Ereignisse | h/n - p | ≥ ε und | h/n - p | < ε   haben zusammen natürlich die Wahrscheinlichkeit 1 und daraus folgt:

Bn,p { h ∈ {0,...n} : | h/n - p | < ε }  ≥  1 - 1/4nε².

Damit erhalten wir als Folgerung aus der Tschebyscheffschen Ungleichung das Bernoullische Gesetz der großen Zahlen: Für jede Konstante ε > 0 strebt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses | h/n - p | <  ε   für n → ∞ gegen 1.

Die Ungleichung von Tschebyscheff ist übrigens zur konkreten Abschätzung von Wahrscheinlichkeiten nicht geeignet. Im Falle der Binomialverteilung ist das kein Problem, weil man ihre Werte per Computer explizit bestimmen oder mit der Normalverteilung näherungsweise berechnen kann.

Wir kommen jetzt auf die Ziehung der Lottozahlen zurück, wo die relative Häufigkeit der 13 zur Zeit rund 2% unter der Ziehungswahrscheinlichkeit p = 6/49 liegt. Die Abweichung wird aber „bereits” in den nächsten 7.000 Jahren höchstwahrscheinlich (> 99%) unter ein Promille schrumpfen. Die Chancen stehen dennoch bei 85%, dass dann die absolute Häufigkeit der 13 auf dem Zufallspfad durch „Rückstände” bzw. „Vorsprünge” weiter als momentan vom Erwartungswert entfernt sein wird.

Es bleibt noch zu erwähnen, dass bei unbegrenzt vielen Ausspielungen die relative Häufigkeit jeder Lottozahl stochastisch gegen p = 6/49 konvergiert. Man darf sich beim Lotto sogar auf eine prinzipiell stärkere Konvergenz berufen: Das arithmetische Mittel von identisch und P-unabhängig verteilten reellen Zufallsvariablen X1, X2, ... , Xn konvergiert nämlich für n → ∞  „P-fast sicher” gegen den Erwartungswert E[X1] - wenn er existiert. Diese Version des Gesetzes der großen Zahlen bezieht sich nicht allein auf Bernoulli-Experimente, wo die Zufallsvariablen nur die Werte 0 oder 1 liefern. Daher ist die Existenz des Erwartungswertes nicht evident, wie man etwa an der Cauchy-Verteilung sieht. Der berühmte russische Mathematiker Kolmogoroff konnte allerdings zeigen, dass die Integrierbarkeit der Xi eine notwendige und hinreichende Bedingung ist, um das Gesetz anwenden zu können.

Wer sich tieferliegende Gedanken zur fast sicheren Konvergenz oder zur stochastischen Konvergenz der Mittelwerte von Zufallsvariablen machen möchte, sollte einen Blick in die Literatur zur Wahrscheinlichkeitstheorie werfen. An dieser Lektüre werden ganz sicher alle Leser bis auf abzählbar viele ihre Freude haben.