In einem Wartezimmer gibt es ebenso viele Stühle wie Menschen, wenn niemand stehen muss und kein Stuhl frei ist. Ohne zu zählen, kann man so die Kardinalität (Größe, Mächtigkeit) von Mengen vergleichen. Zwei Mengen heißen gleichmächtig, wenn zu jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge existiert. Im endlichen Fall stimmt das mit der Intuition überein, bei unendlichen Mengen sieht das schon anders aus.

Zum Beispiel sind die natürlichen Zahlen lediglich gleichmächtig zur Menge der geraden Zahlen, obwohl es anschaulich betrachtet doppelt so viele natürliche wie gerade Zahlen gibt. Noch bemerkenswerter ist es, dass nur genauso viele rationale wie natürliche Zahlen existieren. Die natürlichen bzw. rationalen Zahlen bilden die erste Stufe der Unendlichkeit - solche Mengen nennt man abzählbar unendlich. Die reellen Zahlen sind dagegen nicht abzählbar (überabzählbar). Niemand kann jedoch mit Gewissheit sagen, welche höhere Stufe der Unendlichkeit das nun ist:

Bemerkung:

Man erhält beliebig viele Abstufungen der Unendlichkeit durch Konstruktion sogenannter Potenzmengen, wobei eine Potenzmenge P(M) die (sprachlich recht unelegante) Menge aller Teilmengen einer Menge M ist. Im Falle einer endlichen Menge M der Kardinalität n existieren stets 2ⁿ Teilmengen. Das sind offensichtlich zu viele, um sie mit Elementen aus M jeweils verschieden zu indizieren. Bei unendlichen Mengen ist das ebenso - wir zeigen das jetzt für die Menge IN der natürlichen Zahlen:

Angenommen, es gäbe eine Nummerierung f, die allen Teilmengen von IN jeweils verschiedene Nummern zuordnet. Dann hätte auch die (nichtleere) Teilmenge T:= {n ∈ IN: n ∉ f(n)} eine Nummer k - also: f(k) = T. Weil nur T die Nummer k trägt, wäre die Zahl k somit genau dann ein Element von T, wenn sie nicht in T läge. Das ist selbstverständlich unmöglich!

Es gibt also zu wenige natürliche Zahlen, um alle Teilmengen von IN verschieden zu nummerieren. Die Potenzmenge P(IN) hat daher eine größere Kardinalität als die natürlichen Zahlen. Auf analoge Weise folgt, dass P(P(IN)) mächtiger als P(IN) ist. Wenn man so fortfährt, ergeben sich unbegrenzt viele verschiedene Unendlichkeiten. Die Frage ist nun, ob noch andere Unendlichkeiten existieren - vor allem zwischen der Kardinalität von IN und der von P(IN). Das Kontinuum der reellen Zahlen liefert jedenfalls keine neue Stufe der Unendlichkeit. Aus der dyadischen Darstellung reeller Zahlen folgt nämlich, dass IR und P(IN) gleichmächtig sind. Nach Cantors Vermutung aus dem Jahre 1878 haben zudem alle unendlichen Teilmengen von IR entweder die Kardinalität von IN oder die Mächtigkeit des Kontinuums.

Kurt Gödel zeigte 1931, dass Cantors Hypothese nicht im Widerspruch zu den Axiomen der Mengenlehre steht. Paul Cohen bewies 1963, dass auch die Negation zu keinem Widerspruch führt. Die Kontinuumshypothese ist daher unabhängig vom Axiomensystem ZFC, das die übliche Grundlage der Mengenlehre darstellt. „ZF” steht übrigens für Ernst Zermelo (1871 - 1953) sowie Adolf Fraenkel (1891 - 1965) und „C” bezeichnet das Auswahlaxiom (axiom of choice).

Die Kontinuumshypothese ist nicht nur unabhängig vom Axiomensystem - sie hat auch keinerlei Auswirkungen auf die Arithmetik. Rein formal ist es also egal, ob man ZFC um die Kontinuumshypothese oder deren Negation erweitert. Aber angenommen, es gibt eine mathematische Wirklichkeit, die unabhängig vom menschlichen Denken existiert. Der Mathematiker findet und erforscht dann lediglich die vorhandenen Objekte und Gesetze - wie etwa die Zahl π oder die Eulersche Formel. Die Widerspruchsfreiheit wäre demnach kein hinreichender Grund, um das Axiomensystem nach Belieben mit der Kontinuumshypothese oder ihrer Negation zu ergänzen.