Startseite Mathematik-Online        Themenliste

Mathematik-Online

In einem Wartezimmer gibt es ebenso viele Stühle wie Menschen, wenn niemand stehen muss und kein Stuhl frei ist. Ohne zu zählen, kann man so die Mächtigkeit (Größe, Kardinalität) von Mengen vergleichen. Zwei Mengen heißen gleichmächtig, wenn jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zugeordnet werden kann. Im endlichen Fall stimmt das mit der Anschauung überein, bei unendlichen Mengen sieht das anders aus:

Zum Beispiel ist die Menge IN aller natürlichen Zahlen gleichmächtig zur Menge der geraden natürlichen Zahlen - man ordnet jedem n einfach die Zahl 2n zu. Auch die Menge der rationalen Zahlen ist gleichmächtig zu IN, das lässt sich mit Cantors Diagonalverfahren beweisen. Mengen, die gleichmächtig zu IN sind, nennt man abzählbar unendlich. Dagegen ist die Menge IR der reellen Zahlen nicht abzählbar (überabzählbar). Nun stellt sich die Frage, ob eine Zwischenstufe der Unendlichkeit existiert.

Kontinuumshypothese

Anfrage:  C. Westermann
Was ist die Kontinuumshypothese CH ?

Antwort:

Die Kontinuumshypothese (kurz CH) besagt, dass zwischen der Mächtigkeit der Menge IN der natürlichen Zahlen und der Mächtigkeit der Menge IR aller reellen Zahlen keine andere Stufe der Unendlichkeit existiert. Georg Cantor (1845-1918), der Begründer der Mengenlehre, hat diese Hypothese im Jahr 1878 aufgestellt.

Kurt Gödel zeigte 1938, dass man CH mit dem Zermelo-Fraenkel Axiomensystem (ZF) nicht widerlegen kann, und Paul Cohen zeigte 1963, dass sich CH mit ZF nicht beweisen lässt. CH ist also unabhängig von den ZF-Axiomen der Mengenlehre.


Anmerkungen

Die Kontinuumshypothese besagt nicht, dass nur zwei Stufen der Unendlichkeit existieren. Es gibt sogar unbegrenzt viele Abstufungen, weil die Menge aller Teilmengen (Potenzmenge) einer Menge M stets mächtiger als M ist. Das zeigt sich für die Menge der natürlichen Zahlen wie folgt:

Angenommen, man könnte alle Teilmengen der natürlichen Zahlen mit T1, T2, T3 ... paarweise verschieden durchnummerieren. Dann hätte die (nichtleere) Teilmenge T:= {n∈IN| n∉Tn} ebenfalls eine Nummer k. Weil außer T keine andere Menge mit k nummeriert ist, läge k genau dann in T, wenn k kein Element von T wäre - Widerspruch!
T ≠ ∅ lässt sich übrigens wie folgt zeigen: Weil die Mengen {1}, {2}, {1,2} verschieden nummeriert werden, muss eine dieser Mengen eine Nummer n > 2 haben, das heißt: n ∉ Tn.

 Georg Cantor (Halle an der Saale), der Begründer der Mengenlehre.

Georg Cantor
1845 - 1918

Die natürlichen Zahlen reichen also nicht, um alle Teilmengen von IN verschieden zu nummerieren. Die Potenzmenge P(IN) hat daher eine größere Mächtigkeit als die Menge der natürlichen Zahlen. Ähnlich folgt, dass P(P(IN)) mächtiger als P(IN) ist. So kann man beliebig fortfahren - Cantor fragte sich vor allem, ob zwischen der Mächtigkeit von IN und der von P(IN) eine Zwischenstufe existiert. (Dabei ist es egal, ob es sich um P(IN) oder IR handelt, weil die dyadische Darstellung der reellen Zahlen zeigt, dass IR und P(IN) gleichmächtig sind.)

Cantor konstruierte im Jahr 1870 eine nirgends dichte, perfekte Teilmenge C des Intervalls I = [0,1], die eine Lebesgue-Nullmenge ist. Dennoch existiert eine Bijektion vom Cantorschen Diskontinuum C auf das Kontinuum I (vgl. Elstrodt). Zudem sind die Intervalle I und ]-π/2, π/2[ gleichmächtig und tan: ]-π/2, π/2[ → IR ist offenkundig bijektiv, also existiert eine Bijektion von C auf IR. Acht Jahre später stellte Georg Cantor schließlich seine unwiderlegbare/unbeweisbare Hypothese auf, dass jede überabzählbare Teilmenge von IR gleichmächtig zu IR ist.

Wenn man die unbegrenzt vielen Stufen der Unendlichkeit aufsteigend mit den Kardinalzahlen ℵ0, ℵ1, ℵ2, ... bezeichnet, dann steht ℵ0 (Aleph Null) für die Kardinalität von IN und die Kontinuumshypothese lautet: ℵ1 ist die Kardinalität von IR.
Themenliste Auswahlaxiom